已知数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有Sn=n2+12an．（1）证明：an+1+an=4n+2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设f（n

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有S_n=n²+

1

2

a_n．
（1）证明：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设f（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）..（1-

1

an

）

2n+1

，求证：f（n+1）＜f（n）对一切n∈N^×都成立．

答案

（1）∵S_n=n²+

1

2

a_n．①
∴S_n+1=（n+1）²+

1

2

a_n+1．②
∴②-①得：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）∵a_n+1+a_n=4n+2；
∴a_n+1-2（n+1）=-（a_n-2n）=…=（-1）ⁿ（a₁-2）；
又a₁=2
∴a_n=2n
（3）∵f（n）=（1-

1

2

）（1-

1

4

）（1-

1

6

）…（1-

1

2n

）

2n+1

∴

f(n+1)

f(n)

= 

4n2+8n+3 4n2+8n+4

 ＜1
∴f（n+1）＜f（n）对一切n∈N^×都成立．