已知数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意的n∈N*,恒有Sn=2an-n,设bn=log2(an+1),(1)求证数列{an+1}是等比数列;(2)求数列{
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意的n∈N*,恒有Sn=2an-n,设bn=log2(an+1),(1)求证数列{an+1}是等比数列;(2)求数列{
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且对于任意的n∈N
*
,恒有S
n
=2a
n
-n,设b
n
=log
2
(a
n
+1),
(1)求证数列{a
n
+1}是等比数列;
(2)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式a
n
和b
n
;
(3)设
c
n
=
2
b
n
a
n
•
a
n+1
,①求数列{c
n
}的最大值.②求
lim
n→∞
(
c
1
+c
2
+…+c
n
).
答案
(1)当n=1时,S
1
=2a
1
-1,得a
1
=1. (1分)
∵S
n
=2a
n
-n,
∴当n≥2时,S
n-1
=2a
n-1
-(n-1),
两式相减得:a
n
=2a
n
-2a
n-1
-1,
∴a
n
=2a
n-1
+1. (3分)
∴a
n
+1=2a
n-1
+2=2(a
n-1
+1),(5分)
∴{a
n
+1}是以a
1
+1=2为首项,2为公比的等比数列. (6分)
(2)由(1)得a
n
+1=2•2
n-1
=2
n
,∴a
n
=2
n
-1,n∈N
*
. (8分)
∴b
n
=log
2
(a
n
+1)=log
2
2
n
=n,n∈N
*
. (10分)
(3)
c
n
=
2
n
a
n
a
n+1
,
c
n+1
=
2
n+1
a
n+1
a
n+2
①
c
n+1
-
c
n
=
2
n+1
(
2
n+1
-1)(
2
n+2
-1)
-
2
n
(
2
n
-1)(
2
n+1
-1)
=
-2×
4
n
-
2
n
(
2
n+1
-1)(
2
n+2
-1)(
2
n
-1)
<0
∴数列{c
n
}单调递减.(12分)
∴①n=1时数列{c
n
}的最大值为
c
1
=
2
3
.(14分)
②由
c
n
=
2
n
(
2
n
-1)(
2
n+1
-1)
=
1
2
n
-1
-
1
2
n+1
-1
,(16分)
所以c
1
+c
2
+…+c
n
=
1-
1
2
n+1
-1
.∴
lim
n→∞
(
c
1
+c
2
+…+c
n
)=1.(18分)
举一反三
已知数列{a
n
}是等差数列,且a
1
=2,a
1
+a
2
+a
3
=12.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)令
b
n
=
a
n
2
a
n
,求数列{b
n
}前n项和
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=( x-1)
2
,数列{a
n
}是公差为d的等差数列,{b
n
}是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列,若a
1
=f(d-1),a
3
=f(d+1),b
1
=f(q+1),b
3
=f(q-1).
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)设数列{c
n
}的前n项和为S
n
,且对一切自然数n,均有
c
1
b
1
+
c
2
b
2
+…+
c
n
b
n
=a
n+1
,求
lim
n→∞
S
2n+1
S
2n
的值.
题型:不详
难度:
|
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若{a
n
}是公差d≠0的等差数列,通项为a
n
,{b
n
}是公比q≠1的等比数列,已知a
1
=b
1
=1,且a
2
=b
2
,a
6
=b
3
.
(1)求d和q.
(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N
*
都有a
n
=log
a
b
n
+b成立,若存在求之,若不存在说明理由.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}的各项均为正数,a
1
=1,前n项和为S
n
.等比数列{b
n
}中,b
1
=1,且b
2
S
2
=6,b
2
+S
3
=8.
(Ⅰ)求数列{a
n
}与{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求
1
S
1
+
1
S
2
+…+
1
S
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足a
1
+2a
2
+3a
3
+…+na
n
=n(n+1)(n+2),则它的前n项和S
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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