已知函数f(x)=( x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b
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已知函数f(x)=( x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=( x-1)
2
,数列{a
n
}是公差为d的等差数列,{b
n
}是公比为q(q∈R且q≠1)的等比数列,若a
1
=f(d-1),a
3
=f(d+1),b
1
=f(q+1),b
3
=f(q-1).
(1)求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式;
(2)设数列{c
n
}的前n项和为S
n
,且对一切自然数n,均有
c
1
b
1
+
c
2
b
2
+…+
c
n
b
n
=a
n+1
,求
lim
n→∞
S
2n+1
S
2n
的值.
答案
(Ⅰ)∵a
3
-a
1
=2d,∴f(d+1)-f(d-1)=2d.
即d
2
-(d-2)
2
=2d,解得d=2.
∴a
1
=f(2-1)=0.∴a
n
=2(n-1).
∵
b
3
b
1
=
q
2
,∴
f(q-1)
f(q+1)
=
q
2
=
(q-2)
2
q
2
.
∵q≠0,q≠1,∴q=-2.
又b
1
=f(q+1)=4,∴b
n
=4•(-2)
n-1
.
(Ⅱ)由题设知
c
1
b
1
=
a
2
,∴c
1
=a
2
b
1
=8.
当n≥2时,
c
1
b
1
+
c
2
b
2
+…+
c
n
b
n
=a
n+1
,
c
1
b
1
+
c
2
b
2
+…+
c
n-1
b
n-1
=
a
n
,
两式相减,得
c
n
b
n
=
a
n+1
-
a
n
=2
.
∴c
n
=2b
n
=2×3
n-1
(n≥2).
∴S
2n+1
=c
1
+c
2
+c
3
+…+c
2n+1
=8+2(3+3
2
+…+3
2n
)=8+
2×
3
2n+1
-3
3
-1
=3
2n+1
+5.
即S
2n
=3
2n+1
+5-2×3
2n
=3
2n
+5.
∴
lim
n→∞
S
2n+1
S
2n
=
lim
n→∞
3
2n+1
+5
3
2n
+5
=3
举一反三
若{a
n
}是公差d≠0的等差数列,通项为a
n
,{b
n
}是公比q≠1的等比数列,已知a
1
=b
1
=1,且a
2
=b
2
,a
6
=b
3
.
(1)求d和q.
(2)是否存在常数a,b,使对一切n∈N
*
都有a
n
=log
a
b
n
+b成立,若存在求之,若不存在说明理由.
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}的各项均为正数,a
1
=1,前n项和为S
n
.等比数列{b
n
}中,b
1
=1,且b
2
S
2
=6,b
2
+S
3
=8.
(Ⅰ)求数列{a
n
}与{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求
1
S
1
+
1
S
2
+…+
1
S
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足a
1
+2a
2
+3a
3
+…+na
n
=n(n+1)(n+2),则它的前n项和S
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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有穷数列{a
n
}的前n项和S
n
=2n
2
+n,现从中抽取某一项(不包括首项、末项)后,余下的项的平均值是79.
①求数列{a
n
}的通项a
n
;
②求这个数列的项数,抽取的是第几项?
题型:不详
难度:
|
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等差数列{a
n
}中,已知a
1
=-6,a
n
=0,公差d∈N
*
,则n(n≥3)的最大值为( )
A.7
B.6
C.5
D.8
题型:不详
难度:
|
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