(1)设数列{bn}的公差为d,由题意得 解得 所以bn=3n-2. (2)由bn=3n-2,知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)++loga(1+) =loga[(1+1)(1+)(1+)],logabn+1=loga. 因此要比较Sn与logabn+1的大小,可先比较(1+1)(1+)(1+)与的大小. 取n=1有(1+1)>, 取n=2有(1+1)(1+)>, 由此推测(1+1)(1+)(1+)>.① 若①式成立,则由对数函数性质可断定: 当a>1时,Sn>logabn+1. 当0<a<1时,Sn<logabn+1. 下面用数学归纳法证明①式. (ⅰ)当n=1时已验证①式成立. (ⅱ)假设当n=k(k≥1)时,①式成立,即 (1+1)(1+)(1+)>. 那么,当n=k+1时, (1+1)(1+)(1+)(1+)>(1+) =(3k+2). 因为[(3k+2)]3-[]3=(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2 | (3k+1)2 | =>0, 所以(3k+2)>=. 因而(1+1)(1+)(1+)(1+)>. 这就是说①式当n=k+1时也成立. 由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n都成立. 由此证得: 当a>1时,Sn>logabn+1. 当0<a<1时,Sn<logabn+1. |