已知函数f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),且y=f(x)的图象经过点(1,n2),n=1,2,…,数列{an}为等差数列.(

已知函数f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),且y=f(x)的图象经过点(1,n2),n=1,2,…,数列{an}为等差数列.(

题型:崇文区二模难度:来源:
已知函数f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N*),且y=f(x)的图象经过点(1,n2),n=1,2,…,数列{an}为等差数列.
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)当n为奇数时,设g(x)=
1
2
[f(x)-f(-x)]
,是否存在自然数m和M,使得不等式m<
1
2
<M
恒成立?若存在,求出M-m的最小值;若不存在,请说明理由.
答案
(I)由题意得f(1)=n2,即a1+a2+a3+…+an=n2
令n=1,则a0+a1=1,
令n=2则a0+a1+a2=22
a2=4-(a0+a1)=3
令n=3则a0+a1+a2+a3=32
a3=9-(a0+a1+a2)=5
设等差数列{an}的公差为d,则d=a3-a2=2,a1=1
∴an=1+(n-1)×2=2n-1
(II)由(I)知:f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn
n为奇数时,f(-x)=-a1x+a2x2-a3x3+…-anxn
∴g(x)=
1
2
[f(x)-f(-x)=a1x+a3x3+a5x5…+anxn
g(
1
2
)=1×
1
2
+5×(
1
2
)
3
+9×(
1
2
)
5
+…+(2n-1)×(
1
2
)
n

1
4
g(
1
2
)=1× (
1
2
)
3
 +5×(
1
2
)
5
+…+(2n-1)×(
1
2
)
n+2

由①-②得:
3
4
×g(
1
2
)=4
1
2
(1-
1
2n+1
)
1-
1
4
-(2n-1)×(
1
2
)
n+2
-
3
2

∴g(
1
2
)=
14
9
-
13
9
× (
1
2
)
n
-
2n
3
(
1
2
)
n
14
9

cn=
2n
3
(
1
2
)
n

cn+1-cn=
1
3
(1-n)×(
1
2
)
n
≤0

∴cn随n的增大而减小,又
13
9
×(
1
2
)
n
随n的增大而减小
∴g(
1
2
)为n的增函数,
当n=1时,g(
1
2
)=
1
2

而g(
1
2
)<
14
9

1
2
≤g(
1
2
)<
14
9

易知:使m<g(
1
2
)<M
恒成立的m的最大值为0,M的最小值为2,
∴M-m的最小值为2.
举一反三
已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(  )
A.5B.4C.3D.2
题型:广东难度:| 查看答案
等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.
(1)求an与bn
(2)求和:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
题型:江西难度:| 查看答案
在等差数列{an}中,a1=3,a3=5,则a7=(  )
A.9B.11C.13D.15
题型:成都一模难度:| 查看答案
数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则它的通项公式是______.
题型:不详难度:| 查看答案
在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列的前13项之和为______.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.