已知等差数列{an}的公差为d,且a2=3,a5=9,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-12bn(n∈N*)(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(
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已知等差数列{an}的公差为d,且a2=3,a5=9,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=1-12bn(n∈N*)(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(
题型:不详
难度:
来源:
已知等差数列{a
n
}的公差为d,且a
2
=3,a
5
=9,数列{b
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=1-
1
2
b
n
(n∈N
*
)
(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(2)记c
n
=
1
2
a
n
b
n
求证:数列{c
n
}的前n项和 T
n
≤1.
答案
(1)依题意,d=
a
5
-a
2
5-2
=2,故a
1
=a
2
-d=1,
∴a
n
=2n-1(n∈N
*
)…1分
在S
n
=1-
1
2
b
n
中,令n=1,得b
1
=
2
3
,
当n≥2时,S
n
=S
n
=1-
1
2
b
n
,S
n-1
=1-
1
2
b
n-1
,
两式相减得b
n
=
1
2
b
n-1
-
1
2
b
n
,
∴
b
n
b
n-1
=
1
3
(n≥2)…4分
∴b
n
=
2
3
•
(
1
3
)
n-1
=
2
3
n
(n∈N
*
)…5分
(2)c
n
=
1
2
a
n
b
n
=(2n-1)•
(
1
3
)
n
…6分
T
n
=1×
(
1
3
)
1
+3×
(
1
3
)
2
+5×
(
1
3
)
3
+…+(2n-3)×
(
1
3
)
n-1
+(2n-1)×
(
1
3
)
n
,
1
3
T
n
=1×
(
1
3
)
2
+3×
(
1
3
)
3
+…+(2n-3)×
(
1
3
)
n
+(2n-1)×
(
1
3
)
n+1
…7分,
两式相减得:
2
3
T
n
=
1
3
+2[
(
1
3
)
2
+
(
1
3
)
3
+…+
(
1
3
)
n
]-(2n-1)×
(
1
3
)
n+1
=
1
3
+2×
1
9
[1
-(
1
3
)
n-1
]
1-
1
3
-(2n-1)×
(
1
3
)
n+1
…9分,
∴T
n
=1-
(
1
3
)
n
×(n+1)…11分
∵n∈N
*
,
∴T
n
≤1…12分
举一反三
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列.
(1)若
AB
•
BC
=-3
,且
b=3
2
,求a+c的值;
(2)若
M=
.
3
sinA
1
cosA
.
,求M的取值范围.
题型:黄埔区一模
难度:
|
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已知递增的等差数列{a
n
}满足a
1
=1,a
3
=a
2
2
-4,则a
n
=______.
题型:广东
难度:
|
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在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A,B,C成等差数列.
(1)若
AC
•
BC
=0,求A;
(2)若
AB
•
BC
=-
3
2
,b=
3
,求a+c的值.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}中,a
3
a
7
=-16,a
4
+a
6
=0,求{a
n
}前n项和s
n
.
题型:不详
难度:
|
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一个3×3正方形数表中,每一行的三数分别顺次成等差数列,每一列的三数顺次成等比数列,且公比相同.部分数据如图所示,则表中的a=______.
3
a
8
8
题型:不详
难度:
|
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埃斯库罗斯《被缚的普罗米修斯》
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