正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an2}成等差数列。 (I)证明数列{an}中有无穷多项为无理数; (Ⅱ)当n为何值时,an为整数,并求出使an&
题型:江西省高考真题难度:来源:
正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an2}成等差数列。 (I)证明数列{an}中有无穷多项为无理数; (Ⅱ)当n为何值时,an为整数,并求出使an<200的所有整数项的和。 |
答案
解:(Ⅰ)由已知有an2=1+24(n-1),从而an= 取,则 用反证法证明这些an都是无理数 假设为有理数,则an必为正整数,且 故 与矛盾 所以都是无理数 即数列{an}中有无穷多项为无理数; (Ⅱ)要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数 所以有an-1=6m或an+1=6m 当an=6m+1时,有an2=36m2+12m+1=1+12m(3m+1) (m∈N),又m(3m+1)必为偶数,所以an=6m+1(m∈N)满足an2=1+24(n-1) 即时,an为整数 同理an=6m-1(m∈N*)有a2n=36m2-12m+1=1+12m· (3m-1)(m∈N*) 也满足an2=1+24(n-1) 即时,an为整数 显然an=6m-1(m∈N*)和an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项 所以当和N*)时,an为整数 由an=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33 由an=6m-1<200(m∈N*)有1≤m≤33 设an中满足an<200的所有整数项的和为S,则 S=(5+11+…+197)+(1+7+13+…+199) 6733。 |
举一反三
已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an=( );若它的第k项满足5<ak<8,则k=( )。 |
已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4。 (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn。 |
已知数列{an}中,an=3n+4,若an=13,则n等于 |
[ ] |
A.3 B.4 C.5 D.6 |
已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的第n项an等于 |
[ ] |
A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1 D.2n+1 |
等差数列1,-3,-7,-11,…的通项公式是( ),它的第20项是( )。 |
最新试题
热门考点