已知数列{an}满足:a1=14,2an+1=a2n+2an,用[x]表示不超过x的最大整数,则[1a1+2+1a2+2+…+1a2013+2]的值等于____

已知数列{an}满足:a1=14,2an+1=a2n+2an,用[x]表示不超过x的最大整数,则[1a1+2+1a2+2+…+1a2013+2]的值等于____

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}满足:a1=
1
4
2an+1=
a2n
+2an
,用[x]表示不超过x的最大整数,则[
1
a1+2
+
1
a2+2
+…+
1
a2013+2
]
的值等于______.
答案
因为a1=
1
4
2an+1=
a2n
+2an
,所以数列{an}各项为正,并且
1
an+2
>0
由递推公式2an+1=
a2n
+2an
,移向2an+1-
a2n
-2an=0

在两边加上anan+1,并将左边提公因式得出(an+1-an)(an+2)=anan+1
可得
1
an+2
an+1-an
anan+1
1
an
-
1
an+1

所以
1
a1+2
+
1
a2+2
+…+
1
a2013+2
=
1
a1
-
1
a2
+
1
a2
-
1
a3
+…
1
a2013
-
1
a2014
=
1
a1
-
1
a2014
1
a1
=4.
又因为a1=
1
4
a2=
9
32
a3=
657
2048
,…,
1
a1+2
+
1
a2+2
+…+
1
a2013+2
>3,
所以[
1
a1+2
+
1
a2+2
+…+
1
a2013+2
]
=3
故答案为:3
举一反三
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=-6,S18-S15=18,则S33-S30=______.
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在等差数列{an}中,a8=8,则
S 15
的值为(  )
A.120B.60C.15D.30
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已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3
3
-S1=1
,则数列{an}的公差是(  )
A.
1
2
B.1C.2D.3
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设{an}是等差数列,其前n项和为Sn,已知S7=63,a4+a5+a6=33,
(1)写出数列{an}的通项公式;
(2) 求数列bn=2an+n,求数列{bn}的前n项和Tn;
(3) 求证:
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
3
4
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在等差数列{an}中,已知a2,a6是方程x2-10x+1=0的两个根,sn是数列{an}的前n项和,则s7=(  )
A.40B.35C.30D.25
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