设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥3，n∈N) 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|O

题型：上海高考真题难度：来源：

设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)(n≥3，n∈N) 是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列，其中O是坐标原点。记S_n=a₁+a₂+…+a_n，
（1）若C的方程为-y²=1，n=3，点P₁(3，0) 及S₃=162，求点P₃的坐标；(只需写出一个)
（2）若C的方程为y²=2px(p≠0)，点P₁(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x₁+p)²，(x₂+p)²，…，(x_n+p)²成等差数列；
（3）若C的方程为(a＞b＞0)，点P₁(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值。

答案

解：(1)a₁=²=9，
由S₃=(a₁+a₃)=162，得a₃=³=99，
由，得，
∴点P₃的坐标可以为(3，3)。
(2)对每个自然数k，1≤k≤n，
由题意²=(k-1)d，及，得，
即(x_k+p)²=p²+(k-1)d，
∴(x₁+p)²，(x₂+p)²，…，(x_n+p)²是首项为p²，公差为d的等差数列；
(3)原点O到二次曲线C：(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a，
∵a₁=²=a²，
∴d＜0，且a_n=²=a²+(n-1)d≥b²，
∴≤d＜0，
∵n≥3，＞0，
∴S_n=na²+d在[，0)上递增，
故S_n的最小值为。