已知数列{an}成等比数列,且an>0.(1)若a2-a1=8,a3=m.①当m=48时,求数列{an}的通项公式;②若数列{an}是唯一的,求m的值;(2)若
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已知数列{an}成等比数列,且an>0. (1)若a2-a1=8,a3=m.①当m=48时,求数列{an}的通项公式;②若数列{an}是唯一的,求m的值; (2)若a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8,k∈N*,求a2k+1+a2k+2+…+a3k的最小值. |
答案
(1)见解析(2)32 |
解析
设公比为q,则由题意,得q>0. (1)①由a2-a1=8,a3=m=48,得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191014/20191014061909-10043.png) 解之,得 或 所以数列{an}的通项公式为 an=8(2- )(3+ )n-1,或an=8(2+ )(3- )n-1. ②要使满足条件的数列{an}是唯一的,即关于a1与q的方程组 有唯一正数解,即方程8q2-mq+m=0有唯一解. 由Δ=m2-32m=0,a3=m>0,所以m=32,此时q=2. 经检验,当m=32时,数列{an}唯一,其通项公式是an=2n+2. (2)由a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8, 得a1(qk-1)(qk-1+qk-2+…+1)=8,且q>1. a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k(qk-1+qk-2+…+1)= =8
≥32, 当且仅当qk-1= ,即q= ,a1=8( -1)时, a2k+1+a2k+2+…+a3k的最小值为32 |
举一反三
已知各项都为正的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,存在两项am,an使得 =4a1,则 的最小值为________. |
已知向量p=(an,2n),q=(2n+1,-an+1),n∈N*,p与q垂直,且a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an·bn}的前n项和Sn. |
设首项为1,公比为 的等比数列{an}的前n项和为Sn,则 ( ).A.Sn=2an-1 | B.Sn=3an-2 | C.Sn=4-3an | D.Sn=3-2an |
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在等比数列{an}中,a3=6,前3项和S3=18,则公比q的值为________. |
设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则 =________. |
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