已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）．（1）求证：{an+1+2an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2）．
（1）求证：{a_n+1+2a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|++|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

答案

（1）由a_n+1=a_n+6a_n-1，a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2）
∵a₁=5，a₂=5∴a₂+2a₁=15
故数列{a_n+1+2a_n}是以15为首项，3为公比的等比数列（5分）
（2）由（1）得a_n+1+2a_n=5•3ⁿ由待定系数法可得（a_n+1-3ⁿ⁺¹）=-2（a_n-3ⁿ）
即a_n-3ⁿ=2（-2）^n-1故a_n=3ⁿ+2（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ（9分）
（3）由3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n）=n[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n（-2）ⁿ，
∴b_n=n（-

2

3

）ⁿ
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=（-

2

3

）+2（

2

3

）²+3（

2

3

）³+…+n（

2

3

）ⁿS_n
=（

2

3

）²+2（

2

3

）³+…+（n-1）（

2

3

）ⁿ+n（

2

3

）ⁿ⁺¹（11分）
得S_n=+（

2

3

）²+（

2

3

）³+…+（

2

3

）ⁿ-n（

2

3

）ⁿ⁺¹
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n（

2

3

）ⁿ⁺¹
=2[1-（

2

3

）ⁿ]-n（

2

3

）ⁿ⁺¹
∴S_n=6[1-（

2

3

）ⁿ]-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹＜6
要使得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，只须m≥6（14分）