已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1,lga2,lga4成等差数列.又bn=1a2n,n=1,2,3,….(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;(Ⅱ)如果数列

已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1,lga2,lga4成等差数列.又bn=1a2n,n=1,2,3,….(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;(Ⅱ)如果数列

题型:黑龙江难度:来源:
已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1,lga2,lga4成等差数列.又bn=
1
a2n
,n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;
(Ⅱ)如果数列{bn}前3项的和等于
7
24
,求数列{an}的首项a1和公差d.
答案
(1)证明:设{an}中首项为a1,公差为d.
∵lga1,lga2,lga4成等差数列
∴2lga2=lga1+lga4
∴a22=a1•a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d)
∴d=0或d=a1
当d=0时,an=a1,bn=
1
a2n
=
1
a1

bn+1
bn
=1

∴{bn}为等比数列;
当d=a1时,an=na1,bn=
1
a2n
=
1
2na1

bn+1
bn
=
1
2

∴{bn}为等比数列
综上可知{bn}为等比数列
(2)当d=0时,bn=
1
a2n
=
1
a1

∴b1+b2+b3=
3
a1
=
7
24

∴a1=
72
7

当d=a1时,bn=
1
a2n
=
1
2na1

∴b1+b2+b3=
1
2a1
+
1
4a1
+
1
8a1
=
7
8a1
=
7
24

∴a1=3
综上可知





a1=
72
7
d=0





a1=3
d=3
举一反三
已知f(x)=log2(x+m),m∈R
(1)如果f(1),f(2),f(4)成等差数列,求m的值;
(2)如果a,b,c是两两不等的正数,且a,b,c依次成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论.
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}的前n项和Sn满足:t(Sn+1+1)=(2t+1)S n  n∈N*.
(1)求证{an}是等比数列;
(2)若{an}的公比为f(t),数列{bn}满足:b1=1,bn+1=f(
1
bn
),求{bn}的通项公式;
(3)定义数列{cn}为:cn=
1
bn+1bn
,求{cn}的前n项和Tn,并求
lim
n→∞
Tn
题型:杭州二模难度:| 查看答案
设数列{an},a1=
5
6
,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程:an-1x2-anx+1=0(n∈N*且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1.
(1)求证:{an-
1
2
}为等比数列;
(2)求an
(3)求{an}的前n项和Sn
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}中,a1=1,an=
1
2
an-1+1(n≥2),求通项公式an
题型:不详难度:| 查看答案
我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
题型:上海难度:| 查看答案
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第3行q2
第n行qn-1