已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1,lga2,lga4成等差数列.又bn=1a2n,n=1,2,3,….(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;(Ⅱ)如果数列
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已知{an}是各项均为正数的等差数列,lga1,lga2,lga4成等差数列.又bn=1a2n,n=1,2,3,….(Ⅰ)证明{bn}为等比数列;(Ⅱ)如果数列
题型:黑龙江
难度:
来源:
已知{a
n
}是各项均为正数的等差数列,lga
1
,lga
2
,lga
4
成等差数列.又
b
n
=
1
a
2
n
,n=1,2,3,….
(Ⅰ)证明{b
n
}为等比数列;
(Ⅱ)如果数列{b
n
}前3项的和等于
7
24
,求数列{a
n
}的首项a
1
和公差d.
答案
(1)证明:设{a
n
}中首项为a
1
,公差为d.
∵lga
1
,lga
2
,lga
4
成等差数列
∴2lga
2
=lga
1
+lga
4
∴a
2
2
=a
1
•a
4
,即(a
1
+d)
2
=a
1
(a
1
+3d)
∴d=0或d=a
1
当d=0时,a
n
=a
1
,b
n
=
1
a
2
n
=
1
a
1
,
∴
b
n+1
b
n
=1
,
∴{b
n
}为等比数列;
当d=a
1
时,a
n
=na
1
,b
n
=
1
a
2
n
=
1
2
n
a
1
,
∴
b
n+1
b
n
=
1
2
,
∴{b
n
}为等比数列
综上可知{b
n
}为等比数列
(2)当d=0时,b
n
=
1
a
2
n
=
1
a
1
,
∴b
1
+b
2
+b
3
=
3
a
1
=
7
24
∴a
1
=
72
7
;
当d=a
1
时,b
n
=
1
a
2
n
=
1
2
n
a
1
∴b
1
+b
2
+b
3
=
1
2
a
1
+
1
4
a
1
+
1
8
a
1
=
7
8
a
1
=
7
24
∴a
1
=3
综上可知
a
1
=
72
7
d=0
或
a
1
=3
d=3
举一反三
已知f(x)=log
2
(x+m),m∈R
(1)如果f(1),f(2),f(4)成等差数列,求m的值;
(2)如果a,b,c是两两不等的正数,且a,b,c依次成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}的前n项和S
n
满足:t(S
n+1
+1)=(2t+1)S
n
n∈N*.
(1)求证{a
n
}是等比数列;
(2)若{a
n
}的公比为f(t),数列{b
n
}满足:b
1
=1,b
n+1
=f(
1
b
n
),求{b
n
}的通项公式;
(3)定义数列{c
n
}为:c
n
=
1
b
n+1
b
n
,求{c
n
}的前n项和T
n
,并求
lim
n→∞
T
n
.
题型:杭州二模
难度:
|
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设数列{a
n
},a
1
=
5
6
,若以a
1
,a
2
,…,a
n
为系数的二次方程:a
n-1
x
2
-a
n
x+1=0(n∈N
*
且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1.
(1)求证:{a
n
-
1
2
}为等比数列;
(2)求a
n
;
(3)求{a
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n
=
1
2
a
n-1
+1(n≥2),求通项公式a
n
.
题型:不详
难度:
|
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我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列{a
n
}依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
第1列
第2列
第3列
…
第n列
第1行
1
1
1
…
1
第2行
q
第3行
q
2
…
…
第n行
q
n-1
题型:上海
难度:
|
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