已知f(x)=log2(x+m),m∈R(1)如果f(1),f(2),f(4)成等差数列,求m的值;(2)如果a,b,c是两两不等的正数,且a,b,c依次成等比
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已知f(x)=log2(x+m),m∈R (1)如果f(1),f(2),f(4)成等差数列,求m的值; (2)如果a,b,c是两两不等的正数,且a,b,c依次成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论. |
答案
(1)∵f(1),f(2),f(4)成等差数列, ∴f(1)+f(4)=2f(2). 即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2 ∴(m+1)(m+4)=(m+2)2 即m2+5m+4=m2+4m+4 ∴m=0 (2)∵f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)], 2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2, ∵a,b,c成等比数列, ∴b2=ac ∵(a+m)(c+m)-(b+m)2 =ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2 =ac+m(a+c)-b2-2bm =m(a+c)-2m ∵a>0,c>0. ∴a+c≥2 ①m>0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2>0, ∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2 ∴f(a)+f(c)>2f(b); ②m<0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2<0, ∴log2[(a+m)(c+m)]<log2(b+m)2 ∴f(a)+f(c)<2f(b); ③m=0时,(a+m)(c+m)-(b+m)2=0 ∴log2[(a+m)(c+m)]=log2(b+m)2 ∴f(a)+f(c)=2f(b). |
举一反三
数列{an}的前n项和Sn满足:t(Sn+1+1)=(2t+1)S n n∈N*. (1)求证{an}是等比数列; (2)若{an}的公比为f(t),数列{bn}满足:b1=1,bn+1=f(),求{bn}的通项公式; (3)定义数列{cn}为:cn=,求{cn}的前n项和Tn,并求Tn. |
设数列{an},a1=,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程:an-1x2-anx+1=0(n∈N*且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1. (1)求证:{an-}为等比数列; (2)求an; (3)求{an}的前n项和Sn. |
数列{an}中,a1=1,an=an-1+1(n≥2),求通项公式an. |
我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | 第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 | 第2行 | q | | | | | 第3行 | q2 | | | | | … | … | | | | | 第n行 | qn-1 | | | | | 已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a1,b1]时,f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时,f(x)的值域为[a3,b3],…当x∈[an-1,bn-1]时,f(x)的值域为[an,bn],其中a,b为常数,a1=0,b1=1. (Ⅰ)a=1时,求数列{an}与{bn}的通项; (Ⅱ)设a>0且a≠1,若数列{bn}是公比不为1的等比数列,求b的值; (Ⅲ)若a>0,设{an}与{bn}的前n项和分别记为Sn与Tn,求(T1+T1+…+Tn)-(S1+S2+…+Sn)的值. |
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