数列{an}中，a1=1，an=12an-1+1（n≥2），求通项公式an． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

数列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），求通项公式a_n．

由a_n=

1

2

a_n-1+1，得a_n-2=

1

2

（a_n-1-2）．
令b_n=a_n-2，则b_n-1=a_n-1-2，
∴有b_n=

1

2

b_n-1．
∴b_n=

1

2

b_n-1=

1

2

•

1

2

b_n-2
=

1

2

•

1

2

•

1

2

b_n-3
=

1

2

×

1

2

×

1

2

… ×

1

2

b₁=（

1

2

）^n-1•b₁．
∵a₁=1，∴b₁=a₁-2=-1．
∴b_n=-（

1

2

）^n-1．
∴a_n=2-

1

2n-1

．

我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a_n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．

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第1列

第2列

第3列

…

第n列

第1行

1

…

1

第2行

q

第3行

q²

…

第n行

q^n-1

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，…当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．
（Ⅰ）a=1时，求数列{a_n}与{b_n}的通项；
（Ⅱ）设a＞0且a≠1，若数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；
（Ⅲ）若a＞0，设{a_n}与{b_n}的前n项和分别记为S_n与T_n，求（T₁+T₁+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）的值．

已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通项公式满足b_n=a_n+1-a_n，c_n=b_n+1-b_n（n∈N^*）．若数列{b_n}
是一个非零常数列，则称数列{a_n}是一阶等差数列；若数列{c_n}是一个非零常数列，则称数列{a_n}是二阶等差数列．
（Ⅰ）试写出满足条件a₁=1，b₁=1，c_n=1的二阶等差数列{a_n}的前五项；
（Ⅱ）求满足条件（Ⅰ）的二阶等差数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）若数列{a_n}的首项a₁=2，且满足c_n-b_n+1+3a_n=-2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

已知等比数列{a_n}的前n项和为Sn=x•3n-1-

1

6

，则x的值为（　　）

A．

1

3

B．-

1

3

C．

1

2

D．-

1

2

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）若x₁=4，记an=lg

xn+2

xn-2

，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）若x₁=4，b_n=x_n-2，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明T_n＜3．