设数列{an},a1=56,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程:an-1x2-anx+1=0(n∈N*且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1.(1
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设数列{an},a1=56,若以a1,a2,…,an为系数的二次方程:an-1x2-anx+1=0(n∈N*且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1.(1
题型:不详
难度:
来源:
设数列{a
n
},a
1
=
5
6
,若以a
1
,a
2
,…,a
n
为系数的二次方程:a
n-1
x
2
-a
n
x+1=0(n∈N
*
且n≥2)都有根α、β满足3α-αβ+3β=1.
(1)求证:{a
n
-
1
2
}为等比数列;
(2)求a
n
;
(3)求{a
n
}的前n项和S
n
.
答案
(1)证明:∵α+β=
a
n
a
n-1
,αβ=
1
a
n-1
代入3α-αβ+3β=1得a
n
=
1
3
a
n-1
+
1
3
,
∴
a
n
-
1
2
a
n-1
-
1
2
=
1
3
a
n-1
+
1
3
-
1
2
a
n-1
-
1
2
=
1
3
为定值.
∴数列{a
n
-
1
2
}是等比数列.
(2)∵a
1
-
1
2
=
5
6
-
1
2
=
1
3
,
∴a
n
-
1
2
=
1
3
×(
1
3
)
n-1
=(
1
3
)
n
.
∴a
n
=(
1
3
)
n
+
1
2
.
(3)S
n
=(
1
3
+
1
3
2
++
1
3
n
)+
n
2
=
1
3
(1-
1
3
n
)
1-
1
3
+
n
2
=
n+1
2
-
1
2×
3
n
.
举一反三
数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n
=
1
2
a
n-1
+1(n≥2),求通项公式a
n
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
我们在下面的表格内填写数值:先将第1行的所有空格填上1;再把一个首项为1,公比为q的数列{a
n
}依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
第1列
第2列
第3列
…
第n列
第1行
1
1
1
…
1
第2行
q
第3行
q
2
…
…
第n行
q
n-1
题型:上海
难度:
|
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已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a
1
,b
1
]时,f(x)的值域为[a
2
,b
2
],当x∈[a
2
,b
2
]时,f(x)的值域为[a
3
,b
3
],…当x∈[a
n-1
,b
n-1
]时,f(x)的值域为[a
n
,b
n
],其中a,b为常数,a
1
=0,b
1
=1.
(Ⅰ)a=1时,求数列{a
n
}与{b
n
}的通项;
(Ⅱ)设a>0且a≠1,若数列{b
n
}是公比不为1的等比数列,求b的值;
(Ⅲ)若a>0,设{a
n
}与{b
n
}的前n项和分别记为S
n
与T
n
,求(T
1
+T
1
+…+T
n
)-(S
1
+S
2
+…+S
n
)的值.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}、{b
n
}、{c
n
}的通项公式满足b
n
=a
n+1
-a
n
,c
n
=b
n+1
-b
n
(n∈N
*
).若数列{b
n
}
是一个非零常数列,则称数列{a
n
}是一阶等差数列;若数列{c
n
}是一个非零常数列,则称数列{a
n
}是二阶等差数列.
(Ⅰ)试写出满足条件a
1
=1,b
1
=1,c
n
=1的二阶等差数列{a
n
}的前五项;
(Ⅱ)求满足条件(Ⅰ)的二阶等差数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(Ⅲ)若数列{a
n
}的首项a
1
=2,且满足c
n
-b
n+1
+3a
n
=-2
n+1
(n∈N
*
),求数列{a
n
}的通项公式.
题型:怀柔区二模
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}的前n项和为
S
n
=x•
3
n-1
-
1
6
,则x的值为( )
A.
1
3
B.
-
1
3
C.
1
2
D.
-
1
2
题型:石景山区一模
难度:
|
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