【题文】对于定义域为[0,1]的函数,如果同时满足以下三个条件:①对任意的,总有②③若,,都有成立;则称函数为理想函数.下面有三个命题:若函数为理想函数,则;函
题型:难度:来源:
【题文】对于定义域为[0,1]的函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194520-27790.png)
,如果同时满足以下三个条件:
①对任意的
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194520-20363.png)
,总有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194521-27235.png)
②
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194521-91152.png)
③若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194522-63678.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194522-66743.png)
,都有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194522-28488.png)
成立;
则称函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194520-27790.png)
为理想函数.下面有三个命题:
若函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194520-27790.png)
为理想函数,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194522-66569.png)
;
函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194523-38969.png)
是理想函数;
(3)若函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194520-27790.png)
是理想函数,假定存在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194523-55473.png)
,使得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194523-74691.png)
,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194524-61763.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194524-92614.png)
;
其中正确的命题是_______.(请填写命题的序号)
答案
【答案】①②③
解析
【解析】试题分析:(1)取
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194524-43130.png)
,代入
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194522-28488.png)
,可得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194525-76596.png)
,即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194525-11127.png)
,由已知对任意的
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194520-20363.png)
,总有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194525-29213.png)
可得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194526-17347.png)
,∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194522-66569.png)
;
(2)显然
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194523-38969.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194526-48190.png)
上满足
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194526-17347.png)
;②
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194521-91152.png)
.
若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194522-63678.png)
,且
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194522-66743.png)
,
则有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194526-81012.png)
,
故
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194527-36863.png)
满足条件①②③,所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194527-36863.png)
为理想函数.
由条件③知,任给
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194527-30597.png)
,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194527-68646.png)
时,由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194527-68646.png)
知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194528-48947.png)
,
∴
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194528-85812.png)
.
若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194528-78418.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194529-57122.png)
,前后矛盾;
若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194529-78255.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194529-23035.png)
,前后矛盾.
故
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194530-26492.png)
.∴三个命题都正确,答案为①②③.
考点:1.新定义问题;2.函数的定义域、值域;3.函数的单调性.
举一反三
【题文】 函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194511-34939.png)
的定义域为
【题文】函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194459-49369.png)
的定义域为________________.
【题文】 函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194439-23575.png)
的定义域为
.
【题文】 函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194436-88897.png)
的定义域为
.
【题文】若函数f (x) =
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200324/20200324194428-37780.png)
,则f (x)的定义域是
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