设Sn为数列{an}的前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=(m+1)-man(m为常数,且m>0).(1)求证:数列{an}是等比数列.(2)设数列{an}的
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设Sn为数列{an}的前n项和,对任意的n∈N*,都有Sn=(m+1)-man(m为常数,且m>0).(1)求证:数列{an}是等比数列.(2)设数列{an}的
题型:韶关模拟
难度:
来源:
设S
n
为数列{a
n
}的前n项和,对任意的n∈N
*
,都有S
n
=(m+1)-ma
n
(m为常数,且m>0).
(1)求证:数列{a
n
}是等比数列.
(2)设数列{a
n
}的公比q=f(m),数列{b
n
}满足b
1
=2a
1
,b
n
=f(b
n-1
)(n≥2,n∈N
*
),求数列{b
n
}的通项公式.
(3)在满足(2)的条件下,求数列
{
2
n+1
b
n
}
的前n项和T
n
答案
(1)证明:当n=1时,a
1
=S
1
=(m+1)-ma
1
,解得a
1
=1.
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=ma
n-1
-ma
n
.
即(1+m)a
n
=ma
n-1
.
∵m为常数,且m>0,∴
a
n
a
n-1
=
m
1+m
(n≥2).
∴数列{a
n
}是首项为1,公比为
m
1+m
的等比数列.
(2)由(1)得,q=f(m)=
m
1+m
,b
1
=2a
1
=2.
∵
b
n
=f(
b
n-1
)=
b
n-1
1+
b
n-1
,
∴
1
b
n
=
1
b
n-1
+1
,即
1
b
n
-
1
b
n-1
=1
(n≥2).
∴
{
1
b
n
}
是首项为
1
2
,公差为1的等差数列.
∴
1
b
n
=
1
2
+(n-1)•1=
2n-1
2
,即
b
n
=
2
2n-1
(n∈N
*
).
(3)由(2)知
b
n
=
2
2n-1
,则
2
n+1
b
n
=
2
n
(2n-1)
.
所以
T
n
=
2
2
b
1
+
2
3
b
2
+
2
4
b
3
++
2
n
b
n-1
+
2
n+1
b
n
,
即T
n
=2
1
×1+2
2
×3+2
3
×5++2
n-1
×(2n-3)+2
n
×(2n-1),①
则2T
n
=2
2
×1+2
3
×3+2
4
×5++2
n
×(2n-3)+2
n+1
×(2n-1),②
②-①得T
n
=2
n+1
×(2n-1)-2-2
3
-2
4
--2
n+1
,
故
T
n
=
2
n+1
×(2n-1)-2-
2
3
(1-
2
n-1
)
1-2
=
2
n+1
×(2n-3)+6
.
举一反三
数列{a
n
}的首项a
1
=1,前n项和为S
n
,满足关系3tS
n
-(2t+3)S
n-1
=3t(t>0,n=2,3,4…)
(1)求证:数列{a
n
}为等比数列;
(2)设数列{a
n
}的公比为f(t),作数列{b
n
},使b
1
=1,b
n
=f(
1
b
n-1
),(n=2,3,4…),求b
n
(3)求T
n
=(b
1
b
2
-b
2
b
3
)+(b
3
b
4
-b
4
b
5
)+…+(b
2n-1
b
2n
-b
2n
b
2n+1
)的值.
题型:扬州二模
难度:
|
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2,x,y,z,18成等比数列,则y=______.
题型:不详
难度:
|
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在等比数列{a
n
}中,已知a
1
a
3
a
11
=8,那么a
2
a
8
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
2
+1
与
2
-1
,两数的等比中项是 ______.
题型:不详
难度:
|
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在公比为整数的等比数列{a
n
}中,如果a
1
+a
4
=18,a
2
+a
3
=12,那么该数列的前8项之和为 ______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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