数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,满足关系3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4…)(1)求证:数列{an}为等比数列;(2)设
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数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn,满足关系3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4…)(1)求证:数列{an}为等比数列;(2)设
题型:扬州二模
难度:
来源:
数列{a
n
}的首项a
1
=1,前n项和为S
n
,满足关系3tS
n
-(2t+3)S
n-1
=3t(t>0,n=2,3,4…)
(1)求证:数列{a
n
}为等比数列;
(2)设数列{a
n
}的公比为f(t),作数列{b
n
},使b
1
=1,b
n
=f(
1
b
n-1
),(n=2,3,4…),求b
n
(3)求T
n
=(b
1
b
2
-b
2
b
3
)+(b
3
b
4
-b
4
b
5
)+…+(b
2n-1
b
2n
-b
2n
b
2n+1
)的值.
答案
(1)证:∵3tS
n
-(2t+3)S
n-1
=3t,3tS
n+1
-(2t+3)S
n
=3t(n≥2),两式相减得3ta
n+1
-(2t+3)a
n
=0
又t>0
∴
a
n+1
a
n
=
2t+3
3t
(n≥2),
又当n=2时,3tS
2
-(2t+3)S
1
=3t,
即3t(a
1
+a
2
)-(2t+3)a
1
=3t,得
a
2
=
2t+3
3t
,
即
a
2
a
1
=
2t+3
3t
,
∴
a
n+1
a
n
=
2t+3
3t
(n≥1),
∴{a
n
}为等比数列
(2)由已知得,f(t)=
2t+3
3t
∴b
n
=f(
1
b
n-1
)=
3+
2
b
n-1
3
b
n-1
=
2
3
+b
n-1
(n≥2,n∈N
*
).
∴{b
n
}是一个首项为1,公差为
2
3
的等差数列.
于是b
n
=
2
3
n+
1
3
(3)T
n
=b
1
b
2
-b
2
b
3
+b
3
b
4
-…+b
2n-1
b
2n
-b
2n
b
2n+1
=b
2
(b
1
-b
3
)+b
4
(b
3
-b
5
)+…+b
2n
(b
2n-1
-b
2n+1
)=-2(b
2
+b
4
+…+b
2n
)
=-2d(b
2
+b
4
+…+b
2n
)
=
-2×
2
3
[
5n
3
+
n(n-1)
2
×
4
3
]
=
-
8
n
2
9
-
4n
3
举一反三
2,x,y,z,18成等比数列,则y=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在等比数列{a
n
}中,已知a
1
a
3
a
11
=8,那么a
2
a
8
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
2
+1
与
2
-1
,两数的等比中项是 ______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在公比为整数的等比数列{a
n
}中,如果a
1
+a
4
=18,a
2
+a
3
=12,那么该数列的前8项之和为 ______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
等比数列中,首项为
9
8
,末项为
1
3
,公比为
2
3
,则项数n等于 ______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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