已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}满足a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0.(1)试探究数列{an-1}是

已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}满足a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0.(1)试探究数列{an-1}是

题型:广西自治区月考题难度:来源:
已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}满足a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0.
(1)试探究数列{an-1}是否是等比数列;
(2)试证明
(3)设bn=3f(an)﹣g(an+1),试探究数列{bn}是否存在最大项和最小项.若存在求出最大项和最小项,若不存在,说明理由.
答案
解:(1)由(an+1﹣an)g(an)+f(an)=0
得4(an+1﹣an)(an﹣1)+(an﹣1)2=0
化得:(an﹣1)(4an+1﹣4an+an﹣1)=0,?an﹣1=0或4an+1﹣4an+an﹣1=0,
由已知a1=2,∴an﹣1=0(舍去).
∴4an+1﹣4an+an﹣1=0得4an+1=3an+1
从而有:an+1﹣1=
∴数列{an﹣1}是首项为a1﹣1=1,公比为的等比数列
∴an﹣1=
∴数列{an}通项公式为an=+1.
(2)由(1)知=+n=4[1﹣]+n
∵对?n∈N*,有

+n≥1+n,

(3)由bn=3f(an)﹣g(an+1)得bn=3(an﹣1)2﹣4(an+1﹣1)
=
,则0<u≤1,
bn=3(u2﹣u)=
∵函数上为增函数,在上为减函数
当n=1时u=1,
当n=2时
当n=3时,=
当n=4时
,且
∴当n=3时,bn有最小值,即数列{bn} 有最小项,最小项为
当n=1即u=1时,bn有最大值,即有最大项,最大项为b1=3(1﹣1)=0.
举一反三
设{an}是公比为q的等比数列,其前项积为,并满足条件,给出下列结论:(1)0<q<1;
(2)T198<1;
(3)a99a101<1;
(4)使Tn<1成立的最小自然数n等于199,其中正确的编号为(    )
题型:江西省月考题难度:| 查看答案
已知{an}为等差数列,{bn}为正项等比数列,公比q≠1,若a1=b1,a11=b11,则[     ]
A.a6=b6
B.a6>b6
C.a6<b6
D.以上都有可能
题型:山东省月考题难度:| 查看答案
已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为[     ]
A.
B.
C.
D.不存在
题型:天津月考题难度:| 查看答案
在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=[     ]
A.33
B.72
C.84
D.189
题型:广东省同步题难度:| 查看答案
等比数列{an}中,a2=4,,则a3a6+a4a5的值是[     ]
A.1
B.2
C.
D.
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