已知等比数列{an}中，a4-a2=a2+a3=24．记数列{an}的前n项和为Sn（I） 求数列{an}的通项公式；（II）数列{bn}中，b1=2，b2=3

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已知等比数列{a_n}中，a₄-a₂=a₂+a₃=24．记数列{a_n}的前n项和为S_n
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．求：

Sn

2

-2bn的值．

答案

（I）设等比数列的首项为a₁，公比为q，因为a₄-a₂=a₂+a₃=24．
所以a₁q³-a₁q=a₁q+a₁q²=24，解得q=2或q=-1
若q=-1，则a₁q³-a₁q=0，所以q=-1（舍去），
∴q=2，a₁=4，
数列{a_n}是等比数列，首项为4，公比为2，它的通项公式为：4×2 ^n-1=2ⁿ⁺¹．
（II） 求数列{a_n}的前n项和为：Sn=

4(1-2n)

1-2

=4(2n-1)，
数列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．
所以b_n+1+b_n+2T_n-1=2T_n-1+1+2b_n，所以b_n+1-b_n=1，
所以数列{b_n}是等差数列，首项为1，公差为1，所以b_n=n，

Sn

2

-2bn=

4(2n-1)

2

-2n=2•2ⁿ-2+2ⁿ=2ⁿ-2．