已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=an（4-an），n∈N， （1）证明an＜an+1＜2，n∈N；（2）求数列{an}的通项公式an

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已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a₀=1，a_n+1=a_n（4-a_n），n∈N，
（1）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n。

答案

解：（1）用数学归纳法证明：
1°当n=1时，，
∴，命题正确；
2°假设n=k时有，
则n=k+1时，

而，
∴，
又，
∴n=k+1时命题正确；
由1°、2°知，对一切n∈N时有。
（2）下面来求数列的通项：，
所以，
令，
则，
又b_n=-1，
所以，即。