已知数列{xn}满足x1=4,xn+1=,(Ⅰ)求证:xn>3;(Ⅱ)求证:xn+1<xn;(Ⅲ)求数列{xn}的通项公式。
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已知数列{xn}满足x1=4,xn+1=,(Ⅰ)求证:xn>3;(Ⅱ)求证:xn+1<xn;(Ⅲ)求数列{xn}的通项公式。
题型:四川省月考题
难度:
来源:
已知数列{x
n
}满足x
1
=4,x
n+1
=
,
(Ⅰ)求证:x
n
>3;
(Ⅱ)求证:x
n+1
<x
n
;
(Ⅲ)求数列{x
n
}的通项公式。
答案
(Ⅰ) 证明:用数学归纳法证明
1)当n=1时,
,所以结论成立;
2)假设n=k(n≥1)时结论成立,即
,
则
,
所以
,
即n=k+1时,结论成立;
由1)2)可知对任意的正整数n,都有
;
(Ⅱ)证明:
,
因为
,
所以
,
所以
。
(Ⅲ)解:
,
,
所以
,
又
,
所以
,
又
,
令
,则数列{a
n
}是首项为1,公比为2的等比数列,
所以
,
由
,
所以
。
举一反三
在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n+1
=2a
n
+n,n∈N*,
(1)记b
n
=a
n
+n+1,求证:数列{b
n
}是等比数列,并写出数列{a
n
}的通项公式;
(2)在(1)的条件下,记
,数列{c
n
}的前n项和为S
n
。求证:S
n
<
。
题型:四川省月考题
难度:
|
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某资料室在计算机使用中,如下表所示,编码以一定规则排列,且从左至右以及从上到下都是无限的,
1
1
1
1
1
1
…
1
2
3
4
5
6
…
1
3
5
7
9
11
…
1
4
7
10
13
16
…
1
5
9
13
17
21
…
1
6
11
16
21
26
…
…
…
…
…
…
…
…
题型:北京期末题
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}满足a
1
=36,a
n+1
=a
n
+2n,则
的最小值为
[ ]
A.10
B.11
C.12
D.13
题型:山东省月考题
难度:
|
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已知数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n+1
=2a
n
+4(n∈N*),求通项公式a
n
=( )。
题型:广西自治区月考题
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足:a
1
=1,a
n+1
=
,n∈N*,则a
2
,a
3
,a
4
的值分别为( ),由此猜想a
n
=( )。
题型:北京期中题
难度:
|
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