设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：  ①   ②，其中n∈N*，M是与n无关的常数  (1)若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4

题型：江西省模拟题难度：来源：

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：  ①   ②，其中n∈N^*，M是与n无关的常数  (1)若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，试探究{S_n}与集合W之间的关系；
(2)设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2n，且{b_n}∈W，M的最小值为m，求m的值；  
(3)在(2)的条件下，设，求证：数列{C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列．

答案

解：(1) S_n=-n²+9n            
满足①            
  
当n=4或5时，S_n取最大值20            
∴S_n≤20满足②  
∴{S_n}∈W                
(2) b_n+1-b_n=5-2n 可知{b_n}中最大项是b₃=7          
∴ M≥7   M的最小值为7                    
(3) ，假设{C_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比数列，
则b_q²=b_p·b_r         
∴
∴
∵ p、q、r∈N*       ∴ p=r与p≠r矛盾
∴ {C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列