已知an=n·0.9n（n∈N*），（1）判断{an}的单调性；（2）是否存在最小正整数k，使an＜k对于n∈N* 恒成立？

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已知a_n=n·0.9ⁿ（n∈N*），
（1）判断{a_n}的单调性；
（2）是否存在最小正整数k，使a_n＜k对于n∈N* 恒成立？

答案

解：（1）a_n+1-a_n=（n+1）·=（0.9-0.1n）·0.9ⁿ，
∴当n＜9时，a_n+1＞a_n；当n=9时，a_n+1=a_n；当n＞9时，a_n+1＜a_n，
∴a₁，a₂，…，a₉单调递增，a₉=a₁₀，
a₁₀，a₁₁，…单调递减；
（2）由（1）知，a_n中a₉和a₁₀相等且最大，则数列中的最大项为，
∴存在最小正整数k=4，使a_n＜4对n∈N*恒成立。