设正整数数列{an}满足:a1=2,a2=6,当n≥2时,有|a2n-an-1an+1|<an-1。(1)求a3、a4的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3
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设正整数数列{an}满足:a1=2,a2=6,当n≥2时,有|a2n-an-1an+1|<an-1。(1)求a3、a4的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3
题型:模拟题
难度:
来源:
设正整数数列{a
n
}满足:a
1
=2,a
2
=6,当n≥2时,有|a
2
n
-a
n-1
a
n+1
|<
a
n-1
。
(1)求a
3
、a
4
的值;
(2)求数列{a
n
}的通项公式;
(3)记T
n
=
,证明:对任意的n∈N*,都有T
n
<
。
答案
解:(1)n=2时,
由已知a
1
=2,a
2
=6,得|36-2a
3
|<1,
因为a
3
为正整数,
所以a
3
=18,同理a
4
=54。
(2)由(1)可猜想:a
n
=2·3
n-1
,(*)
给出证明:①n=1,2时(*)式成立;
②假设当n=k-1与n=k时(*)式成立,即
于是
整理得
于是得
因为a
k+1
为正整数,
所以
即当n=k+1时(*)式仍成立
综上所述,对于任意的n∈N*,有
成立
故数列{a
n
}的通项公式为
。
(3)由
得
故
。
举一反三
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=n
3
,则a
5
+a
6
的值为
[ ]
A.91
B.152
C.218
D.279
题型:同步题
难度:
|
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某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形。
(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式;
(3)求
的值。
题型:同步题
难度:
|
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已知数列{a
n
}中,a
1
=
,
,则a
2012
=
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:模拟题
难度:
|
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如图,P
1
(x
1
,y
1
)、P
2
(x
2
,y
2
)、…、P
n
(x
n
,y
n
)(0<y
1
<y
2
<…<y
n
)是曲线C:y
2
=3x(y≥0)上的n个点,点A
i
(a
i
,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上, 且△A
i-1
A
i
P
i
是正三角形(A
0
是坐标原点)。
(1)写出a
1
、a
2
、a
3
;
(2)求出点A
n
(a
n
,0)(n∈N*)的横坐标a
n
关于n的表达式;
(3)设
,若对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t
2
-2mt+
>b
n
恒成立,求实数t的取值范围。
题型:模拟题
难度:
|
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[ ]
A.A处
B.B处
C.C处
D.D处
题型:专项题
难度:
|
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