已知α为锐角,且tanα=2-1,函数f(x)=2xtan2a+sin(2a+π4),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an).(Ⅰ)求函数f(x)的表

已知α为锐角,且tanα=2-1,函数f(x)=2xtan2a+sin(2a+π4),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an).(Ⅰ)求函数f(x)的表

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已知α为锐角,且tanα=


2
-1,函数f(x)=2xtan2a+sin(2a+
π
4
),数列{an}的首项a1=1,an+1=f(an).
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和Sn
答案
(Ⅰ)∵tanα=


2
-1,
∴tan2α=
2tanα
1-tan2α
=
2(


2
-1)
1-(


2
-1)
2
=1,又α为锐角,
∴2α=
π
4

∴sin(2α+
π
4
)=1,
∴f(x)=2x+1;
(Ⅱ)∵an+1=f(an)=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
∵a1=1,
∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴an+1=2•2n-1=2n
∴an=2n-1,
∴nan=n•2n-n,
下面先求{n•2n}的前n项和Tn
Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n
2Tn=1×22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
两式相减得:-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
2-2n+1
1-2
-n•2n+1
=2n+1-2-n•2n+1
∴Tn=2+(n-1)•2n+1
∴Sn=2+(n-1)•2n+1-
(1+n)n
2
举一反三
已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d>0,且a1,a5,a21分别是正数等比数列{bn}的b3b5b7项.
(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{cn}对任意n*均有
c1
b1
+
c2
b2
+
+
cn
bn
=an+1
成立,设{cn}的前n项和为Tn,求Tn
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已知正项等比数列{an}中,a2=3,则其前3项的和S3的取值范围是______.
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设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且a3=4,S2=3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(2n-1)an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和为Tn
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设Sn等比数列{an}的前n项和,且a2=
1
9
S2=
4
9

(1)求数列{an}的通项;
(2)设bn=
n
an
,求数列{bn}的前n项和Sn
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已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,并证明{an}是等差数列;
(Ⅱ)若cn=12-an,求数列{
1
cncn+1
}
的前n项和Tn
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