设项数均为k(k≥2,k∈N*)的数列{an}、{bn}、{cn}前n项的和分别为Sn、Tn、Un.已知:an-bn=2n(1≤n≤k,n∈N*),且集合{a1
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设项数均为k(k≥2,k∈N*)的数列{an}、{bn}、{cn}前n项的和分别为Sn、Tn、Un.已知:an-bn=2n(1≤n≤k,n∈N*),且集合{a1,a2,…,ak,b1,b2,…,bk}={2,4,6,…,4k-2,4k}. (1)已知Un=2n+2n,求数列{cn}的通项公式; (2)若k=4,求S4和T4的值,并写出两对符合题意的数列{an}、{bn}; (3)对于固定的k,求证:符合条件的数列对({an},{bn})有偶数对. |
答案
(1)n=1时,c1=U1=4, 当n≥2时,cn=Un-Un-1=2n+2n-2(n-1)-2n-1=2+2n-1, c1=4不适合该式, 故cn=, (2)S4-T4=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2+b3+b4) =(a1-b1)+(a2-b2)+(a3-b3)+(a4-b4) =2+4+6+8=20, 又S4+T4=(a1+a2+a3+a4)+(b1+b2+b3+b4) =2+4+6+8+10+12+14+16 =72, ∴S4=46,T4=26; 数列{an}、{bn}可以为: ①16,10,8,12;14,6,2,4②14,6,10,16;12,2,4,8 ③6,16,14,10;4,12,8,2④4,14,12,16;2,10,6,8 ⑤4,12,16,14;2,8,10,6⑥16,8,12,10;14,4,6,2; (3)令dn=4k+2-bn,en=4k+2-an(1≤n≤k,n∈N*), dn-en=(4k+2-bn)-(4k+2-an)=an-bn=2n; 又{a1,a2,…,ak,b1,b2,…,bk}={2,4,6,…,4k}, 得{4k+2-a1,4k+2-a2,…,4k+2-ak,4k+2-b1,4k+2-b2,…,4k+2-bk} ={2,4,6,…,4k}; ∴数列对({an},{bn})与({dn},{en})成对出现. 假设数列{an}与{dn}相同,则由d2=4k+2-b2=a2及a2-b2=4,得a2=2k+3,b2=2k-1,均为奇数,矛盾! 故符合条件的数列对({an},{bn})有偶数对. |
举一反三
如图给出了3层的三角形,图中所有点的个数S3=10.按其规律再画下去,可以得到n层的三角形,Sn=______.
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在数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=,数列{bn}前n项和为Tn,求Tn的取值范围. |
已知数列{an}满足:a1=1,an-an-1+2anan-1=0,(n∈N*,n>1) (Ⅰ)求证数列{}是等差数列并求{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=anan+1,求证:b1+b2+…+bn<. |
已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和. (2)若a2,a3,a1不成等比数列,求数列{}的前n项和. |
已知无穷数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=A+Ban+C,其中A、B、C是常数. (1)若A=0,B=3,C=-2,求数列{an}的通项公式; (2)若A=1,B=,C=,且an>0,求数列{an}的前n项和Sn; (3)试探究A、B、C满足什么条件时,数列{an}是公比不为-1的等比数列. |
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