已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=an+1an,n∈N*,(Ⅰ)求b1,b2,b3的值;(Ⅱ)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的

已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=an+1an,n∈N*,(Ⅰ)求b1,b2,b3的值;(Ⅱ)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的

题型:重庆难度:来源:
已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+anbn=
an+1
an
,n∈N*

(Ⅰ)求b1,b2,b3的值;
(Ⅱ)设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和,求证:Sn≥17n;
(Ⅲ)求证:|b2n-bn|<
1
64
1
17n-2
答案
(Ⅰ)∵a2=4,a3=17,a4=72,
所以b1=4.b2=
17
4
b3=
72
17

(Ⅱ)由an+2=4an+1+an
an+2
an+1
=4+
an
an+1
bn+1=4+
1
bn

所以当n≥2时,bn>4
于是c1=b1,b2=17,cn=bnbn+1=4bn+1>17(n≥2)
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
(Ⅲ)当n=1时,结论|b2-b1|=
1
4
17
64
成立
当n≥2时,有|bn+1-bn|=|4+
1
bn
-4-
1
bn-1
|=|
bn-bn-1
bnbn-1
|≤
1
17
|bn-bn-1|
1
172
|bn-1-bn-2|≤
1
17n-1
|b2-b1|<
1
64
1
17n-2
(n≥2)

所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|
1
4
[(
1
17
)
n-1
+(
1
17
)
n
+(
1
17
)
2n-2
]=
1
4
(
1
17
)
n-1
(1-
1
17n
)
1-
1
17
1
64
1
17n-1
  (n∈N*)
举一反三
已知一次函数f(x)的图象关于直线y=x对称的图象为C,且f[f(1)]=-1,若点(n,
an+1
an
)(n∈N+)
在曲线C上,并有a1=1,
an+1
an
-
an
an-1
=1(n≥2)

(1)求f(x)的解析式及曲线C的方程;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设bn=
an
(n+2)!
,求证:数列{bn}的前n项和Sn
1
2
题型:江西模拟难度:| 查看答案
已知数列{an}中各项为:12、1122、111222、
11…1





个n
22…2





n个

(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
(2)求这个数列前n项之和Sn
题型:不详难度:| 查看答案
各项都为正数的数列{an}满足a1=1,an+12-an2=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{
1
an+an+1
}
的前n项和.
题型:石家庄二模难度:| 查看答案
已知数列{an}对于任意的p、q∈N*,满足ap+q=ap+aq且a2=2,则
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
a2008a2009
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知n是正整数,数列{an}的前n项和为Sn,数列{nan}的前n项和为Tn.对任何正整数n,等式Sn=-an+
1
2
(n-3)都成立.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求Tn
(III)设An=2Tn,Bn=(2n+4)Sn+3,比较An与Bn的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
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