设数列{an}中，若an+1=an+an+2，（n∈N*），则称数列{an}为“凸数列”．（1）设数列{an}为“凸数列”，若a1=1，a2=-2，试写出该数列

题型：长宁区二模难度：来源：

设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+6=a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前n项和S_n．

答案

（1）a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，
∴S₆=0．（4分）
（2）由条件得

an+1=an+an+2 an+2=an+1+an+3

，
∴a_n+3=-a_n，（6分）∴a_n+6=-a_n+3=a_n，即a_n+6=a_n．（8分）
（3）a₁=a，a₂=b，a₃=b-a，a₄=-a，a₅=-b，a₆=a-b．
∴S₆=0．（10分）
由（2）得S_6n+k=S_k，n∈N^*，k=1，，6．（12分）
∴Sn=

0 n=6k a n=6k+1 a+b n=6k+2 2b n=6k+3 2b-a n=6k+4 b-a n=6k+5

，k∈N^*（14分）