求和：Sn=（x+1x）2+（x2+1x2）2+…+（xn+1xn）2．

题型：不详难度：来源：

求和：S_n=（x+

）²+（x²+

）²+…+（xⁿ+

）²．

答案

当x=±1时，
∵（xⁿ+

）²=4，∴S_n=4n，
当x≠±1时，
∵a_n=x²ⁿ+2+

x2n

，
∴S_n=（x²+x⁴++x²ⁿ）+2n+（

x2n

）=

x2(x2n-1)

x2-1

x-2(1-x-2n)

1-x-2

+2n
=

(x2n-1)(x2n+2+1)

x2n(x2-1)

+2n，
所以当x=±1时，S_n=4n；
当x≠±1时，S_n=

(x2n-1)(x2n+2+1)

x2n(x2-1)

+2n．

举一反三

设各项为正的数列{a_n}，其前n项和为S_n，并且对所有正整数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）写出数列{a_n}的前二项；
（2）求数列{a_n}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令b_n=a_n•（3ⁿ-1），求b_n的前n项和T_n．

题型：不详难度：| 查看答案

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，

b3b4

b4b5

+…+

bnbn+1

＜m对于任意的n∈N*，且n≥3恒成立，求m的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2-

n+2

an(n∈N*)．
（I）求证：

an+1

n+1

；
（II）求a_n及S_n；
（III）求证：

+…+

＜

．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f(x)=

7x+5

x+1

，数列{a_n}满足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．数列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）
（1）求证：数列{

}是等差数列；（2）求数列{|b_n|}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数n，使得（2）中的T_n∈（480，510）．若存在，求出所有的n；若不存在，请说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

数列{a_n}的通项an=n2(cos2

nπ

-sin2

nπ

)，其前n项和为S_n，
（1）求S_n；
（2）bn=

S3n

n•4n

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

题型：江西难度：| 查看答案