求和:Sn=(x+1x)2+(x2+1x2)2+…+(xn+1xn)2.

求和:Sn=(x+1x)2+(x2+1x2)2+…+(xn+1xn)2.

题型:不详难度:来源:
求和:Sn=(x+
1
x
2+(x2+
1
x2
2+…+(xn+
1
xn
2
答案
当x=±1时,
∵(xn+
1
xn
2=4,∴Sn=4n,
当x≠±1时,
∵an=x2n+2+
1
x2n

∴Sn=(x2+x4++x2n)+2n+(
1
x2
+
1
x4
++
1
x2n
)=
x2(x2n-1)
x2-1
+
x-2(1-x-2n)
1-x-2
+2n
=
(x2n-1)(x2n+2+1)
x2n(x2-1)
+2n,
所以当x=±1时,Sn=4n;
当x≠±1时,Sn=
(x2n-1)(x2n+2+1)
x2n(x2-1)
+2n.
举一反三
设各项为正的数列{an},其前n项和为Sn,并且对所有正整数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列{an}的前二项;     
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);
(3)令bn=an•(3n-1),求bn的前n项和Tn
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在数列{an}中,已知a1=1,an=an-1+an-2+…+a2+a1(n∈N*,n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=log2an
1
b3b4
+
1
b4b5
+…+
1
bnbn+1
<m
对于任意的n∈N*,且n≥3恒成立,求m的取值范围.
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-
n+2
n
an(n∈N*)

(I)求证:
an+1
an
=
n+1
2n

(II)求an及Sn
(III)求证:
a21
+
a22
+
a23
+…+
a2n
49
64
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已知函数f(x)=
7x+5
x+1
,数列{an}满足:2an+1-2an+an+1an=0且an≠0.数列{bn}中,b1=f(0)且bn=f(an-1)
(1)求证:数列{
1
an
}
是等差数列;(2)求数列{|bn|}的前n项和Tn
(3)是否存在自然数n,使得(2)中的Tn∈(480,510).若存在,求出所有的n;若不存在,请说明理由.
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数列{an}的通项an=n2(cos2
3
-sin2
3
)
,其前n项和为Sn
(1)求Sn
(2)bn=
S3n
n•4n
,求数列{bn}的前n项和Tn
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