数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：am+n=am+an+mn，则1a1+1a2+1a3+…+1a2011=（　　）A．20102011B．

题型：不详难度：来源：

数列{a_n}满足：a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=（　　）

A． 2010 2011

B． 2011 1006

C． 2011 2012

D． 2010 1006

答案

因为a_n+m=a_m+a_n+mn对任意的m，n∈N^*都成立
所以a_n+1=a_n+a₁+n=1+n
即a_n+1-a_n=1+n
所以a₂-a₁=2
   a₃-a₂=3
…
   a_n-a_n-1=n
把上面n-1个式子相加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n
所以an=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

从而有

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=2(1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2011

=

2×2011

2012

=

2011

1006

故选：B