若数列{an}满足:a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数),则称数列{an}为二阶线性递推数列,且定义方程x2=px+q为数列{a
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若数列{an}满足:a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数),则称数列{an}为二阶线性递推数列,且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程,方程的根称为特征根; 数列{an}的通项公式an均可用特征根求得: ①若方程x2=px+q有两相异实根α,β,则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn,(其中c1,c2是待定常数); ②若方程x2=px+q有两相同实根α,则数列通项可以写成an=(c1+nc2)αn,(其中c1,c2是待定常数); 再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an.根据上述结论求下列问题: (1)当a1=5,a2=13,an+2=5an+1-6an(n∈N*)时,求数列{an}的通项公式; (2)当a1=1,a2=11,an+2=2an+1+3an+4(n∈N*)时,求数列{an}的通项公式; (3)当a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*)时,记Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn,若Sn能被数8整除,求所有满足条件的正整数n的取值集合. |
答案
(1)由an+2=5an+1-6an可知特征方程为:x2-5x+6=0,x1=2,x2=3…(3分) 所以 设 an=c1•2n+c2•3n,由得到c1=c2=1, 所以 an=2n+3n; …(6分) (2)由an+2=2an+1+3an+4可以得到(an+2+1)=2(an+1+1)+3(an+1) 设bn=an+1,则上述等式可以化为:bn+2=2bn+1+3bn…(8分) b1=a1+1=2,b2=a2+1=12,所以bn+2=2bn+1+3bn对应的特征方程为:x2-2x-3=0,x1=-1,x2=3…(10分) 所以令 bn=c1•3n+c2•(-1)n,由b1=2,b2=12可以得出 所以bn=•3n+•(-1)n…(11分) 即 an=•3n+•(-1)n-1,n∈N*…(12分) (3)同样可以得到通项公式an=[()n-()n],n∈N*…(14分) 所以Sn=a1Cn1+a2Cn2+a3Cn3+…+anCnn=[()1-()1]+[()2-()2]+[()3-()3]+…+[()n-()n]=[()1+()2+()3+…+()n]-[()1+()2+()3+…+()n]=[(1+)n-(1+)n]=[()n-()n] 即 Sn=[()n-()n], n∈N*…(14分)Sn+2=[()n+2-()n+2]=[()n+1-()n+1]••[()+()]-[()n-()n]=3Sn+1-Sn 即 Sn+2=3Sn+1-Sn,n∈N*…(16分) 因此Sn+2除以8的余数,完全由Sn+1,Sn除以8的余数确定, 因为a1=1,a2=1所以 S1=C11a1=1,S2=C21a1+C22a2=3,S3=3S2-S1=9-1=8,S4=3S3-S2=24-3=21,S5=3S4-S3=63-8=55,S6=3S5-S4=165-21=144,S7=3S6-S5=432-55=377,S8=3S7-S6=1131-144=987,S9=3S8-S7=2961-377=2584, 由以上计算及Sn+2=3Sn+1-Sn可知,数列{Sn}各项除以8的余数依次是:1,3,0,5,7,0,1,3,0,5,7,0,…,它是一个以6为周期的数列,从而Sn除以8的余数等价于n除以3的余数,所以n=3k,k∈N*, 即所求集合为:{n|n=3k,k∈N*}…(18分) |
举一反三
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1,则当n≥2时,++…+=______. |
已知数列{an}满足a1=1,点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上,数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=()n-1+()n-2+…++1,n∈N*. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设cn=-anbn,求数列{cn}的前n项和Tn. |
已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2(n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)令bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,试证明Tn<. |
(1002-992)+(982-972)+…+(22-12)=______. |
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