已知数列{an}前n项和为Sn且2an-Sn=2(n∈N*).(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an(n≥1),求
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已知数列{an}前n项和为Sn且2an-Sn=2(n∈N*). (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,且bn+1=bn+an(n≥1),求{bn}通项公式及前n项和Tn. |
答案
(Ⅰ)∵2an-Sn=2,∴2an+1-Sn+1=2 两式相减得2an+1-2an-(Sn+1-Sn)=0.∴an+1=2an. 又n=1时,2a1-S1=2.∴a1=2 ∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列(3分) ∴an=a1qn-1=2•2n-1=2n(6分) (Ⅱ)∵bn+1=bn+an,∴bn+1-bn=2n(8分) ∴b2-b1=2,b3-b2=22,b4-b3=23,,bn-bn-1=2n-1 相加,bn-b1=2+22+23++2n-1,∵b1=1, ∴bn=1+2+22++2n-1=2n-1) 即bn=2n-1(12分) ∴Tn=(2+22++2n-1+2n)-n=2n+1-(n+2)(14分) |
举一反三
已知数列2004,2005,1,-2004,-2005,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2010项之和S2010=______. |
设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=+log2的图象上满足下面条件的任意两点.若=(+),则点M的横坐标为. (1)求证:M点的纵坐标为定植; (2)若Sn=f()+f()+…+f(),求Sn(n≥2,n∈N*). (3)已知an=,(其中n∈N*,又知Tn为数列{an}的前n项和,若Tn<(15)λ(Sn+1+1)对于一切n∈N*.都成立,试求λ的取值范围. |
已知数列{an}的前4项和等于4,设前n项和为Sn,且n≥2时,an=(+),则S10=______. |
设{an}是正数数列,其前n项和Sn满足Sn=(an-1)(an+3). (1)求a1的值; (3)求数列{an}的通项公式; (5)对于数列{bn},Tn为数列{bn}的前n项和,令bn=,试求Tn的表达式. |
若数列{an}满足:a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q是常数),则称数列{an}为二阶线性递推数列,且定义方程x2=px+q为数列{an}的特征方程,方程的根称为特征根; 数列{an}的通项公式an均可用特征根求得: ①若方程x2=px+q有两相异实根α,β,则数列通项可以写成an=c1αn+c2βn,(其中c1,c2是待定常数); ②若方程x2=px+q有两相同实根α,则数列通项可以写成an=(c1+nc2)αn,(其中c1,c2是待定常数); 再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an.根据上述结论求下列问题: (1)当a1=5,a2=13,an+2=5an+1-6an(n∈N*)时,求数列{an}的通项公式; (2)当a1=1,a2=11,an+2=2an+1+3an+4(n∈N*)时,求数列{an}的通项公式; (3)当a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*)时,记Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn,若Sn能被数8整除,求所有满足条件的正整数n的取值集合. |
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