在数列{an}中,已知a1=14,an+1an=14,bn+2=3log14an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn}是等差数列

在数列{an}中,已知a1=14,an+1an=14,bn+2=3log14an(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn}是等差数列

题型:济南三模难度:来源:
在数列{an}中,已知a1=
1
4
an+1
an
=
1
4
bn+2=3log
1
4
an(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{bn}是等差数列;
(3)设数列{cn}满足cn=an•bn,求{cn}的前n项和Sn
答案
(1)∵
an+1
an
=
1
4

∴数列{an}是首项为
1
4
,公比为
1
4
的等比数列,
an=(
1
4
)n(n∈N*)
.(2分)
(2)∵bn=3log
1
4
an-2
(3分)
bn=3log
1
4
(
1
4
)n-2=3n-2
.(4分)
∴b1=1,公差d=3
∴数列{bn}是首项b1=1,公差d=3的等差数列.(5分)
(3)由(1)知,an=(
1
4
)nbn=3n-2(n∈N*)

cn=(3n-2)×(
1
4
)n,(n∈N*)
.(6分)
Sn=1×
1
4
+4×(
1
4
)2+7×(
1
4
)3++(3n-5)×(
1
4
)n-1+(3n-2)×(
1
4
)n

于是
1
4
Sn=1×(
1
4
)2+4×(
1
4
)3+7×(
1
4
)4++(3n-5)×(
1
4
)n+(3n-2)×(
1
4
)n+1
(10分)
两式相减得
3
4
Sn=
1
4
+3[(
1
4
)2+(
1
4
)3++(
1
4
)n]-(3n-2)×(
1
4
)n+1
=
1
2
-(3n+2)×(
1
4
)n+1
.(12分)
Sn=
2
3
-
12n+8
3
×(
1
4
)n+1(n∈N*)
.(14分)
举一反三
设n∈N*,圆Cn:x2+y2=
R2n
(Rn>0)与y轴正半轴的交点为M,与曲线y=


x
的交点为N(
1
n
yn
),直线MN与x轴的交点为A(an,0).
(1)用n表示Rn和an
(2)求证:an>an+1>2;
(3)设Sn=a1+a2+a3+…+an,Tn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,求证:
7
5
Sn-2n
Tn
3
2
题型:佛山一模难度:| 查看答案
(理科)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,点(an,Sn)都在直线2x-y-
1
2
=0上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若an2=2 -bn设Cn=
bn
an
求数列{Cn}前n项和Tn
题型:不详难度:| 查看答案
设an表示满足不等式



x>0
y>0
y≤-nx2+10n
的整数对(x,y)的个数(其中整数对是指x,y都为整数的有序实数对),则
1
4024
(a2+a4+…a2012)
=(  )
A.1012B.2014C.4024D.4028
题型:不详难度:| 查看答案
数列{an}满足an+1+(-1)n an=2n-1,则{an}的前60项和为(  )
A.3 690B.3 660C.1 845D.1 830
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的通项公式为an=2n-5,则|a1|+|a2|+…+|a10|=(  )
A.68B.65C.60D.56
题型:不详难度:| 查看答案
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