设数列{xn}各项为正,且满足x12+x22+…xn2=2n2+2n.(1)求xn;(2)已知1x1+x 2+1x2+x3+…+1xn+xn+1=3,求n;(3
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设数列{xn}各项为正,且满足x12+x22+…xn2=2n2+2n.(1)求xn;(2)已知1x1+x 2+1x2+x3+…+1xn+xn+1=3,求n;(3
题型:不详
难度:
来源:
设数列{x
n
}各项为正,且满足x
1
2
+x
2
2
+…x
n
2
=2n
2
+2n.
(1)求x
n
;
(2)已知
1
x
1
+x
2
+
1
x
2
+
x
3
+…+
1
x
n
+
x
n+1
=3
,求n;
(3)证明:x
1
x
2
+x
2
x
3
+…x
n
x
n+1
<2[(n+1)
2
-1].
答案
(1)∵数列{x
n
}各项为正,且满足x
1
2
+x
2
2
+…x
n
2
=2n
2
+2n.
∴x
1
=2
当n,x
n
2
=2n
2
+2n-[2(n-1)
2
+2(n-1)]=4n,∴x
n
=2
n
∵x
1
=2也满足上式,∴x
n
=2
n
(2 )∵
1
x
n
+
x
n+1
=
1
2 (
n
+
n+1
)
=
1
2
(
n+1
-
n
)
∴
1
x
1
+x
2
+
1
x
2
+
x
3
+…+
1
x
n
+
x
n+1
=
1
2
(
n+1
-
1
)
=3
∴n=48
(3)x
n
x
n+1
=
2
n
2
n+1
=
4
n
n+1
<
4
n+(n+1)
2
=4n+2
∴x
1
x
2
+x
2
x
3
+…x
n
x
n+1
<(4×1+2)+(4×2+2)+…(4n+2)=
6+(4n+2)
2
n
=2[(n+1)
2
-1].
举一反三
对于实数x,用[x]表示不超过x的最大整数,如[0.32]=0,[5.68]=5.若n为正整数,
a
n
=[
n
4
]
,S
n
为数列{a
n
}的前n项和,则S
4n
=______.
题型:不详
难度:
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数列{a
n
}的通项公式
a
n
=
1
n
+
n+1
,则该数列的前______项之和等于9.
题型:不详
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|
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一般地,在数列{a
n
}中,如果存在非零常数T,使得a
m+T
=a
m
对任意正整数m均成立,那么就称{a
n
}为周期数列,其中T叫做数列{a
n
}的周期.已知数列{x
n
}满足x
n+1
=|x
n
-x
n-1
|(n≥2,n∈N
*
),如果x
1
=1,x
2
=a,(a≤1,a≠0),设S
2009
为其前2009项的和,则当数列{x
n
}的周期为3时,S
2009
=______.
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|
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若函数f(n)=
n,n为奇数
-n,n为偶数
,a
n
=f(n)+f(n+1),则a
1
+a
2
+a
3
+…+a
2012
=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
题型:不详
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设数列{a
n
}满足a
1
=1,a
2
=2,a
n
=
1
3
(
a
n-1
+2
a
n-2
)(n∈
N
*
且n≥3)
,
b
n
=
1n为奇数
-1n为偶数
(1)求a
n
;
(2)若c
n
=na
n
b
n
,n∈N
*
,求{c
n
}的前n项和S
n
.
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