已知数列An:a1,a2,…,an,满足a1=an=0,且当2≤k≤n(k∈N*)时,(ak-ak-1)2=1.令S(An)=a1+a2+…+an.(Ⅰ)写出S
题型:朝阳区二模难度:来源:
已知数列An:a1,a2,…,an,满足a1=an=0,且当2≤k≤n(k∈N*)时,(ak-ak-1)2=1.令S(An)=a1+a2+…+an. (Ⅰ)写出S(A5)的所有可能取值; (Ⅱ)求S(An)的最大值. |
答案
(Ⅰ)由题设,满足条件的数列A5的所有可能情况有: (1)0,1,2,1,0.此时S(A5)=4; (2)0,1,0,1,0.此时S(A5)=2; (3)0,1,0,-1,0.此时S(A5)=0; (4)0,-1,-2,-1,0.此时S(A5)=-4; (5)0,-1,0,1,0.此时S(A5)=0; (6)0,-1,0,-1,0.此时S(A5)=-2. 所以,S(A5)的所有可能取值为:-4,-2,0,2,4..…(5分) (Ⅱ)由(ak-ak-1)2=1,可设ak-ak-1=ck-1,则ck-1=1或ck-1=-1(2≤k≤n,k∈N*),a2-a1=c1,a3-a2=c2, …an-an-1=cn-1, 所以an=a1+c1+c2+…+cn-1. …(7分) 因为a1=an=0,所以c1+c2+…+cn-1=0,且n为奇数,c1,c2,…,cn-1是由个1和个-1构成的数列. 所以S(An)=c1+(c1+c2)+…+(c1+c2+…+cn-1)=(n-1)c1+(n-2)c2+…+2cn-2+cn-1. 则当c1,c2,…,cn-1的前项取1,后项取-1时S(An)最大, 此时S(An)=(n-1)+(n-2)+…+-(+…+2+1)=..…(10分) 证明如下: 假设c1,c2,…,cn-1的前项中恰有t项cm1,cm2,…,cmt取-1,则c1,c2,…,cn-1的后项中恰有t项cn1,cn2,…cnt取1,其中1≤t≤,1≤mi≤,<ni≤n-1,i=1,2,…,t. 所以S(An)=(n-1)c1+(n-2)c2+…+c+c+…+2cn-2+cn-1=(n-1)+(n-2)+…+-(+…+2+1)-2[(n-m1)+(n-m2)+…+(n-mt)]+2[(n-n1)+(n-n2)+…+(n-nt)]=-2[(n1-m1)+(n2-m2)+…+(nt-mt)]<. 所以S(An)的最大值为..…(13分) |
举一反三
设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1•an=0(n∈N*). (1)求它的通项公式; (2)求数列{}的前n和Sn. |
已知函数f(x)=lg(1+),点An(n,0)(n∈N*),过点An作直线x=n交f(x)的图象于点Bn,设O为坐标原点.记θn=∠Bn+1AnAn+1(n∈N*),化简求和式Sn=tanθ1+tanθ2+…+tanθn=______. |
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=-,Tn为数列{bn}的前n项和. (1)求a1、d和Tn; (2)是否存在实数λ,使对任意的n∈N*,不等式λTn<n+8恒成立?若存在,请求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由. |
设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:①对于任意实数a,b都有f(ab)=f(a)+f(b)-5;②f(2)=4.则f(1)=______;若an=f(2n)(n∈N*),数列{an}的前项和为Sn,则Sn的最大值是______. |
已知数列{an}满足an•an+1•an+2•an+3=24,且a1=1,a2=2,a3=3,则a1+a2+a3+…+a2013=______. |
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