已知函数f（x）=lg（1+1x），点An（n，0）（n∈N*），过点An作直线x=n交f（x）的图象于点Bn，设O为坐标原点．记θn=∠Bn+1AnAn+1（

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已知函数f（x）=lg（1+

），点A_n（n，0）（n∈N*），过点A_n作直线x=n交f（x）的图象于点B_n，设O为坐标原点．记θ_n=∠B_n+1A_nA_n+1（n∈N*），化简求和式S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=______．

答案

由题意点A_n（n，0）（n∈N^*），过点A_n作直线x=n交f（x）的图象于点B_n，
∴A_n（n，0），B_n+1（n+1，lg(1+

n+1

)）
∵θ_n=∠B_n+1A_nA_n+1，
∴tanθ_n=

lg(1+

n+1

)-0

(n+1)-n

lg(1+

n+1

)=lg（n+2）-lg（n+1）
∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=lg3-lg2+lg4-lg3+…+lg（n+2）-lg（n+1）=lg（n+2）-lg2
故答案为：lg（n+2）-lg2

举一反三

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足

=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=

an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）是否存在实数λ，使对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8恒成立？若存在，请求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

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设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对于任意实数a，b都有f（ab）=f（a）+f（b）-5；②f（2）=4．则f（1）=______；若a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*），数列{a_n}的前项和为S_n，则S_n的最大值是______．

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已知数列{a_n}满足a_n•a_n+1•a_n+2•a_n+3=24，且a₁=1，a₂=2，a₃=3，则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=______．

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数列{a_n}中a₁=1，a₂=2且前n项和S_n=2a_n+1（n≥2，n∈N^*），则a_n=______．

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中b_n＞0（n∈N*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n?b_n}的前n项和T_n．

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