已知向量OP=(x,y),OQ=(y,2),曲线C上的点满足:OP•OQ=2x.点M(xk,xk+1)在曲线C上,且xk≠0,x1=1,数列{an}满足:ak=
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已知向量OP=(x,y),OQ=(y,2),曲线C上的点满足:OP•OQ=2x.点M(xk,xk+1)在曲线C上,且xk≠0,x1=1,数列{an}满足:ak=
题型:宝鸡模拟
难度:
来源:
已知向量
OP
=(x,y),
OQ
=(y,2)
,曲线C上的点满足:
OP
•
OQ
=2x
.点M(x
k
,x
k+1
)在曲线C上,且x
k
≠0,x
1
=1,数列{a
n
}满足:
a
k
=
1
x
k
,(k,n∈
N
+
)
.
(1)求数列{a
n
}通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足b
n
=7-2a
n
,求数列{|b
n
|}的前n项和T
n
.
答案
(1)由题意可得xy+2y=2x,∴曲线C的方程为
y=
2x
x+2
(x≠-2).
∵点M(x
k
,x
k+1
)在曲线C上,且x
k
≠0,∴
x
k+1
=
2
x
k
x
k
+2
,
∴
1
x
k+1
=
1
x
k
+
1
2
,
∴
a
k+1
=
a
k
+
1
2
,a
1
=1.
∴数列{a
n
}是等差数列,
∴
a
n
=1+(n-1)×
1
2
=
n+1
2
.
(2)b
n
=7-2a
n
=6-n.
当n≤6时,
T
n
=
n(5+6-n)
2
=
n(11-n)
2
;
当n>6时,
T
n
=15+
1
2
(n-6)(1+n-6)
=
1
2
(
n
2
-11n+60)
.
∴
T
n
=
n(11-n)
2
,n≤6
n
2
-11n+60
2
,n>6
.
举一反三
已知函数f(x)=x
2
-bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列
{
1
f(n)
}
的前n项和为S
n
,则S
2010
的值为( )
A.
2011
2012
B.
2010
2011
C.
2009
2010
D.
2008
2009
题型:不详
难度:
|
查看答案
对于一个有限数列P={P
1
,P
2
,…,P
n
}P的“蔡查罗和”定义为
S
1
+
S
2
+…+
S
n
n
,其
中S
k
=P
1
+P
2
+…+P
k
(1≤k≤n).若一个99项的数列{P
1
,P
2
,…,P
99
}的“蔡查罗和”为1000,则100项的数列{1,P
1
,P
2
,…,P
99
}“蔡查罗和”为( )
A.990
B.991
C.992
D.993
题型:宝鸡模拟
难度:
|
查看答案
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
n
=(1+λ)-λa
n
,其中λ为常数,且λ≠-1,0,n∈N
+
(1)证明:数列{a
n
}是等比数列.
(2)设数列{a
n
}的公比q=f(λ),数列{b
n
}满足
b
1
=
1
2
,b
n
=f(b
n-1
)(n∈N
+
,n≥2),求数列{b
n
}的通项公式.
(3)设
λ=1,
C
n
=
a
n
(
1
b
n
-1)
,数列{C
n
}的前n项和为T
n
,求证:当n≥2时,2≤T
n
<4.
题型:不详
难度:
|
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已知数列a
n
满足
a
1
=
1
4
,
a
n
=
a
n-1
(-1)
n
a
n-1
-2
(n≥2,n∈N)
(1)求数列a
n
的通项公式a
n
;
(2)设
b
n
=
1
a
2n
,求数列b
n
的前n项和S
n
;
(3)设
c
n
=
a
n
sin
(2n-1)π
2
,数列c
n
的前n项和为T
n
.求证:对任意的
n∈
N
*
,
T
n
<
4
7
.
题型:深圳二模
难度:
|
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各项均为正数的数列{a
n
}中,a
1
=1,S
n
是数列{a
n
}的前n项和,对任意n∈N
*
,有2S
n
=2pa
n
2
+pa
n
-p(p∈R)
(1)求常数p的值;
(2)求数列{a
n
}的通项公式;
(3)记b
n
=
4
S
n
n+3
•
2
n
,求数列{b
n
}的前n项和T.
题型:湖北模拟
难度:
|
查看答案
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