已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n项和为Sn，则S2010的值为（　　）A

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{

1

f(n)

}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₀的值为（　　）

A． 2011 2012

B． 2010 2011

C． 2009 2010

D． 2008 2009

答案

解；∵函数f（x）=x²-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
由f（x）=x²-bx求导得：f^′（x）=2x-b，
由导函数得几何含义得：f^′（1）=2-b=3⇒b=-1，∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），∴数列{

1

f(n)

}的通项为

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
所以

1

f(n)

的前n项的和即为T_n，
则利用裂项相消法可以得到：Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

+

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

  
所以数列的前2010项的和为：T₂₀₁₀=1-

1

2011

=

2010

2011

．
故答案选：B