在数列{an}中,如果存在非零常数T,使得am+T=am对于任意的非零自然数m均成立,那么就称数列{an}的周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.已知周期数列
题型:不详难度:来源:
在数列{an}中,如果存在非零常数T,使得am+T=am对于任意的非零自然数m均成立,那么就称数列{an}的周期数列,其中T叫做数列{an}的周期.已知周期数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N*),且x1=1,x2=a(a∈R,a≠0),当数列{xn}的周期最小时,该数列前2012项和是______. |
答案
∵xn+1=|xn-xn-1|(n≥2,n∈N*),且x1=1,x2=a(a∈R,a≠0), ∴x3=|x2-x1|=|1-a|, (1)当a≥1时,有x3=a-1,x4=|x3-x2|=|(a-1)-a|=1=x1,x5=|x4-x3|=|1-(a-1)|=|2-a|, ①当a≤2时,有x5=2-a 此时,若x5=x2,即2-a=a,则a=1,就有x1=x4=1,x2=x5=1,x3=0 则数列{xn}为1,1,0,1,1,0,1,1,0…,它满足xm+3=xm,即最小周期为3 ②当a>2时,有x5=a-2, 此时,若x5=x2,即a-2=a,显然是不可能的. (2)当a<1时,有x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4=|x3-x2|=|(1-a)-a|=|1-2a| ①当0<a≤时,有x4=1-2a,x5=|x4-x3|=|(1-2a)-(1-a)|=|a|=a=x2, 此时,若x4=x1,即1-2a=1,则a=0,与已知矛盾,不符合条件. ②当<a<1时,有:x4=2a-1,x5=|x4-x3|=|(2a-1)-(1-a)|=3|a-1|=3(1-a) 此时,若x3=x1,即1-a=1,则a=0,这与a≠0相矛盾. 若x4=x1,即2a-1=1,则a=1,这与a<1相矛盾. 若x5=x1,那么即使其成立,其周期为4,也大于前面求出的最小周期3,也可以不考虑. ③当a<0时,有x4=1-2a,x5=|x4-x3|=|(1-2a)-(1-a)|=|-a|=-a, 同样存在上述②的情况. 综上:当a=1时,数列{xn}=1,1,0,1,1,0,1,1,0…,它满足:xm+3=xm,即最小周期为3, 它从第一项起,每三项之和为1+1+0=2, ∵=670…2, ∴数列的前2012项和S2012=670×2+2=1342. 故答案为:1342. |
举一反三
在数列{an}中,a1=1,an+1=(1+)an+. (1)设bn=,求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn. |
若数列{an}和{bn}满足关系:an=,an+1=(an+)n∈N*,a1=3. (1)求证:数列{lgbn}是等比数列; (2)设Tn=b1b2b3…bn,求满足Tn≥的n的集合M; (3)设cn=,{cn}的前n项和为Sn,试探索an与Sn之间的关系式. |
已知数列{an}的通项an=33-2n,则|a1|+|a2|+…+|a10|=______. |
若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an.n=1,2,3….则a1+a2+…+an=______. |
数列1,,,…,,…的前n项和Sn=______. |
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