已知各项均为正数的数列{an} 满足a2n+1=2a2n+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an} 的通项公式;(2)令cn=

已知各项均为正数的数列{an} 满足a2n+1=2a2n+anan+1,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*.(1)求数列{an} 的通项公式;(2)令cn=

题型:不详难度:来源:
已知各项均为正数的数列{an} 满足
a2n+1
=2
a2n
+anan+1
,且a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(1)求数列{an} 的通项公式;
(2)令cn=1+
n
an
,记数列{an} 的前n项积为Tn,其中n∈N* 试比较Tn 与9的大小,并加以证明.
答案
(1)因为an+12=2an2+anan+1,即(an+1+an)(2an-an+1)=0,
又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1,所以数列{an}是公比为2的等比数列.
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,故an=2n(n∈N*
(2)构造函数f(x)=ln(1+x)-x(x≥0),则f′(x)=-
x
1+x

当x>0时,f′(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减
∴f(x)<f(0)=0,∴ln(1+x)-x<0
∴lncn=ln(1+
n
an
)=ln(1+
n
2n
)<
n
2n

∴lnTn
1
2
+
2
22
…+
n
2n

记An=
1
2
+
2
22
…+
n
2n
①,则
1
2
An=
1
22
+
2
23
…+
n-1
2n
+
n
2n+1

∴①-②可得
1
2
An=
1
2
+
1
22
+
1
23
…+
1
2n
-
n
2n+1
=1-
n+2
2n+1
<1
∴An<2
∴lnTn<2
∴Tn<e2<9.
举一反三
数列{an},{bn}满足anbn=1,an=(n+1)(n+2),则{bn}的前10项之和为 (  )
A.
1
4
B.
7
12
C.
3
4
D.
5
12
题型:不详难度:| 查看答案
等比数列{an}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a12+a22+a32+…+an2等于(  )
A.
4n-1
3
B.(2n-1)2C.4n-1D.2n-1
题型:不详难度:| 查看答案
数列1,
1
1+2
1
1+2+3
,…,
1
1+2+3+…+n
的前n项和为(  )
A.
n
n+1
B.
2n
n+1
C.
2
n(n+1)
D.
4
n(n+1)
题型:不详难度:| 查看答案
记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2(  )
A.4B.2C.1D.-2
题型:龙岩模拟难度:| 查看答案
在等差数列{an}中,a9=
1
2
a12+6
,则数列{an}的前11项和S11等于(  )
A.24B.48C.66D.132
题型:吉林二模难度:| 查看答案
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