定义数列{xn},如果存在常数p,使对任意正整数n,总有(xn+1-p)(xn-p)<0成立,那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”.(1)设an=2n-1,

定义数列{xn},如果存在常数p,使对任意正整数n,总有(xn+1-p)(xn-p)<0成立,那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”.(1)设an=2n-1,

题型:浦东新区一模难度:来源:
定义数列{xn},如果存在常数p,使对任意正整数n,总有(xn+1-p)(xn-p)<0成立,那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”.
(1)设an=2n-1,bn=(-
1
2
)n
,n∈N*,判断{an}、{bn}是否为“p-摆动数列”,并说明理由;
(2)设数列{cn}为“p-摆动数列”,c1>p,求证:对任意正整数m,n∈N*,总有c2n<c2m-1成立;
(3)设数列{dn}的前n项和为Sn,且Sn=(-1)n•n,试问:数列{dn}是否为“p-摆动数列”,若是,求出p的取值范围;若不是,说明理由.
答案
(1)假设数列{an}是“p-摆动数列”,即存在常数p,总有2n-1<p<2n+1对任意n成立,
不妨取n=1,则1<p<3,取n=2,则3<p<5,显然常数p不存在,
所以数列{an}不是“p-摆动数列”;
而数列{bn}是“p-摆动数列”,p=0.
bn=(-
1
2
)n
,于是bnbn+1=(-
1
2
)2n+1<0
对任意n成立,
所以数列{bn}是“p-摆动数列”.
(2)由数列{cn}为“p-摆动数列”,c1>p,即存在常数p,使对任意正整数n,总有(cn+1-p)(cn-p)<0成立.
即有(cn+2-p)(cn+1-p)<0成立.则(cn+2-p)(cn-p)>0,
所以c1>p>⇒c3>p⇒…⇒c2m-1>p,
同理(c2-p)(c1-p)<0⇒c2<p⇒c4<p⇒…⇒c2n<p,
所以c2n<p<c2m-1
因此对任意的m,n∈N*,都有c2n<c2m-1成立.
(3)当n=1时,d1=-1,
当n≥2,n∈N*时,dn=Sn-Sn-1=(-1)n(2n-1)
综上,dn=(-1)n(2n-1)
则存在p=0,使对任意正整数n,总有dndn+1=(-1)2n+1(2n-1)(2n+1)<0成立,
所以数列{dn}是“p-摆动数列”;
当n为奇数时dn=-2n+1递减,所以dn≤d1=-1,只要p>-1即可,
当n为偶数时dn=2n-1递增,dn≥d2=3,只要p<3即可.
综上-1<p<3.
所以数列{dn}是“p-摆动数列”,p的取值范围是(-1,3).
举一反三
已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(1)证明:数列{
an-1
2n
}
为等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn
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已知n是正整数,数列{an}的前n项和为Sn,对任何正整数n,等式Sn=-an+
1
2
(n-3)都成立.
(I)求数列{an}的首项a1
(II)求数列{an}的通项公式;
(III)设数列{nan}的前n项和为Tn,不等式2Tn≤(2n+4)Sn+3是否对一切正整数n恒成立?若不恒成立,请求出不成立时n的所有值;若恒成立,请给出证明.
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已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0、且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有:
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1
成立、求c1+c2+c3+…+c2010的值.
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已知数列{an},定义其倒均数是Vn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
n
,n∈N*

(1)求数列{an}的倒均数是Vn=
n+1
2
,求数列{an}的通项公式an
(2)设等比数列{bn}的首项为-1,公比为q=
1
2
,其倒数均为Vn,若存在正整数k,使n≥k时,Vn<-16恒成立,试求k的最小值.
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用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项(共n-m+1项)之和.
(1)在递增数列{an}中,an与an+1是关于x的方程x2-4nx+4n2-1=0(n为正整数)的两个根.求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列;
(2)对(1)中的数列{an},判断数列S1→3,S4→6,S7→9,…,S3k-2→3k的类型,并证明你的判断.
题型:惠州模拟难度:| 查看答案
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