已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)证明:数列{an-12n}为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.

已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)证明:数列{an-12n}为等差数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(1)证明:数列{
an-1
2n
}
为等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn
答案
(1)∵数列{
an-1
2n
}
为等差数列
bn=
an-1
2n
b1=
5-1
2
=2
bn+1-bn=
an+1-1
2n+1
-
an-1
2n

=
1
2n+1
[(an+1-2an)+1]
=
1
2n+1
[(2n+1-1)+1]
=1,(6分)
可知,数列{
an-1
2n
}
为首项是2、公差是1的等差数列.(7分)
(2)由(1)知,
an-1
2n
=
a1-1
2
+(n-1)×1

∴an=(n+1)•2n+1.(8分)
∴Sn=(2•21+1)+(3•22+1)+…+(n•2n-1+1)+[(n+1)•2n+1].
即Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n+n.
令Tn=2•21+3•22+…+n•2n-1+(n+1)•2n,①
则2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+(n+1)•2n+1.②(12分)
②-①,得Tn=-2•21-(22+23++2n)+(n+1)•2n+1=n•2n+1
∴Sn=n•2n+1+n=n•(2n+1+1).(15分)
举一反三
已知n是正整数,数列{an}的前n项和为Sn,对任何正整数n,等式Sn=-an+
1
2
(n-3)都成立.
(I)求数列{an}的首项a1
(II)求数列{an}的通项公式;
(III)设数列{nan}的前n项和为Tn,不等式2Tn≤(2n+4)Sn+3是否对一切正整数n恒成立?若不恒成立,请求出不成立时n的所有值;若恒成立,请给出证明.
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已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0、且a2,a5,a14分别是等比数列{bn}的b2,b3,b4
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有:
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1
成立、求c1+c2+c3+…+c2010的值.
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已知数列{an},定义其倒均数是Vn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
n
,n∈N*

(1)求数列{an}的倒均数是Vn=
n+1
2
,求数列{an}的通项公式an
(2)设等比数列{bn}的首项为-1,公比为q=
1
2
,其倒数均为Vn,若存在正整数k,使n≥k时,Vn<-16恒成立,试求k的最小值.
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用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项(共n-m+1项)之和.
(1)在递增数列{an}中,an与an+1是关于x的方程x2-4nx+4n2-1=0(n为正整数)的两个根.求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列;
(2)对(1)中的数列{an},判断数列S1→3,S4→6,S7→9,…,S3k-2→3k的类型,并证明你的判断.
题型:惠州模拟难度:| 查看答案
数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=______.
题型:桂林模拟难度:| 查看答案
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