设数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，点（Sn+1，Sn）在直线﹣=1，其中n∈N*（I）求数列{an}的通项公式；（II）设Tn=+﹣2，证明：≤T1+T

题型：湖北省期末题难度：来源：

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，点（S_n+1，S_n）在直线﹣=1，其中n∈N*
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设T_n=+﹣2，证明：≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜3．

答案

（I）解：∵点（S_n+1，S_n）在直线 ﹣ =1，
∴ 
∴数列{ }构成以2为首项，1为公差的等差数列
∴ =2+（n﹣1）=n+1
∴S_n=n²+n
∴当n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=2n，而a₁=2
∴a_n=2n；
（II）证明：∵S_n=n²+n ∴T_n= + ﹣2= ，
∵n∈N*，∴T_n＞0
∴T₁+T₂+T₃+…+T_n＞ 
∵T₁+T₂+T₃+…+T_n=2[（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ）]=3 ＜3
∴ ≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜3．