已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，且．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）求证：是等差数列；（Ⅲ）若，求数列{bn}的前n项和．

题型：天津月考题难度：来源：

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，且．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：是等差数列；
（Ⅲ）若，求数列{b_n}的前n项和．

答案

解：各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，且．
∴a_n+1·a_n（a_n+1+a_n）+（a_n+1+a_n）（a_n+1﹣a_n）=0
（a_n+1+a_n）（a_n+1·a_n+a_n+1﹣a_n）=0
∴a_n+1·a_n+a_n+1﹣a_n=0
∴+1=0；
∴=1．①
（Ⅰ）∵=1+=2
∴a₂=；同理：a₃=．
（Ⅱ）由①得是首项为1，公差为1的等差数列；
∴=1+（n﹣1）×1=n；
∴a_n=．
（Ⅲ）∵=2ⁿ+；
{n·2ⁿ}的和S_n=1·2¹+2·2²+…+n·2ⁿ …①，
2·S_n=2·2¹+3·2²+…+n·2ⁿ+1 …②，
∴①﹣②得﹣S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ﹣n·2ⁿ⁺¹
∴﹣S_n=﹣n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n﹣1）2ⁿ⁺¹+2；
{}的和为：T_n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=．
∴数列{b_n}的前n项和为：S_n+T_n=（n﹣1）2ⁿ⁺¹+2+．