已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程的两根，且a1=1．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）若bn﹣mSn＞

题型：天津月考题难度：来源：

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程的两根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若b_n﹣mS_n＞0对任意的n∈N*都成立，求m的取值范围．

答案

解：（1）∵a_n+a_n+1=2n，
∴a_n+1﹣2ⁿ⁺¹=（2n﹣a_n）﹣2ⁿ⁺¹
=﹣a_n+2n（1﹣）=
∴=﹣1，
∴{a_n﹣2ⁿ}是等比数列，
又a₁﹣=，q=﹣1
∴a_n=[2n﹣（﹣1）ⁿ]．
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n=[（2+2²+…+2ⁿ）﹣（（﹣1）+（﹣1）²+…+（﹣1）ⁿ）]

（3）∵a_n，a_n+1是关于x的方程的两根，
∴b_n=a_na_n+1，b_n=[2ⁿ﹣（﹣1）ⁿ][2ⁿ⁺¹﹣（﹣1）ⁿ⁺¹]
=[2ⁿ⁺¹﹣（﹣2）ⁿ﹣1]
∵b_n﹣ms_n＞0，
∴，
当n为奇数时，[2²ⁿ⁺¹+2ⁿ﹣1]﹣（2ⁿ⁺¹﹣1）＞0，
∴m＜（2n+1）对n∈{奇数}都成立，
∴m＜1．
当n为偶数时，[2²ⁿ⁺¹﹣2ⁿ﹣1]﹣（2ⁿ⁺¹﹣2）＞0，[2²ⁿ⁺¹﹣2ⁿ﹣1]﹣（2ⁿ﹣1）＞0，
∴m＜（2ⁿ⁺¹+1）对n∈{偶数}都成立，
∴m＜．
综上所述，m的取值范围为m＜1．