若有穷数列a1,a2,…,an(n是正整数),满足a1=an,a2=an-1,…,an=a1即ai=an-i+1(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称
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若有穷数列a1,a2,…,an(n是正整数),满足a1=an,a2=an-1,…,an=a1即ai=an-i+1(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”。 (1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列,且b1,b2,b3,b4成等差数列,b1=2,b4=11,试写出{bn}的每一项; (2)已知{cn}是项数为2k-1(k≥1)的对称数列,且ck,ck+1,…,c2k-1构成首项为50,公差为-4的等差数列,数列{cn}的前2k-1项和为S2k-1,则当k为何值时,S2k-1取到最大值?最大值为多少? (3)对于给定的正整数m>1,试写出所有项数不超过2m的对称数列,使得1,2,22,…,2m-1成为数列中的连续项;当m>1500时,试求其中一个数列的前2008项和S2008。 |
答案
解:(1)设{bn}的公差为d, 则 ,解得d=3, ∴数列{bn}为 ; (2)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015101847-88907.gif) ,
, ∴当k=13时, 取得最大值, 的最大值为626。 (3)所有可能的“对称数列”是: ① ; ② ; ③ ; ④ , 对于①,当m≥2008时, ; 当1500<m≤2007时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015101850-40121.gif)
; 对于②,当m≥2008时, ; 当1500<m≤2007时, ; 对于③,当m≥2008时, ; 当1500<m≤2007时, ; 对于④,当m≥2008时, ; 当1500<m≤2007时, 。 |
举一反三
已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n是正整数),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n是正整数)。 记 , (1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值; (2)求证:当n是正整数时,T12n=-4n; (3)已知r>0,且存在正整数m,使得在T12m+1,T12m+2,…,T12m+12中有4项为100,求r的值,并指出哪4项为100。 |
已知函数f(x)=x2-ax+b(a,b∈R)的图像经过坐标原点,且f′(1)=1,数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*), (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足log3bn=an+1+log3n,求数列{bn}的前n项和。 |
已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn。 (Ⅰ)求an及Sn; (Ⅱ)令bn= (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn。 |
在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则S8= |
[ ] |
A.8 B.12 C.16 D.24 |
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