证明:方法一:因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以 (a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]= -3(a+b)(a-b)2≤0. 即(a+b)3≤23,又a+b>0,所以a+b≤2,因为2≤a+b≤2,所以ab≤1. 方法二:设a,b为方程x2-mx+n=0的两根,则因为a>0,b>0,所以m>0,n>0, 且Δ=m2-4n≥0. ① 因为2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m(m2-3n), 所以n=-. ② 将②代入①得m2-4≥0, 即≥0,所以-m3+8≥0,即m≤2,所以a+b≤2, 由2≥m得4≥m2,又m2≥4n,所以4≥4n, 即n≤1,所以ab≤1. 方法三:因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以2=a3+b3= (a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b), 于是有6≥3ab(a+b),从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,所以a+b≤2(以下略). 方法四:因为- = =≥0, 所以对任意非负实数a,b,有≥. 因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以1=≥, 所以≤1,即a+b≤2(以下略). 方法五:假设a+b>2,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) =(a+b)[(a+b)2-3ab]≥(a+b)ab>2ab,所以ab<1. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab),且a3+b3=2, 所以2>2(4-3ab),因此ab>1,前后矛盾,故a+b≤2(以下略). |