已知(x+1)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)+a3(x﹣1)3+…+an(x﹣1)n,(其中n∈N*)(1)求a0及;(2)试比较Sn与(n﹣2)2n
题型:不详难度:来源:
已知(x+1)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)+a3(x﹣1)3+…+an(x﹣1)n,(其中n∈N*) (1)求a0及; (2)试比较Sn与(n﹣2)2n+2n2的大小,并说明理由. |
答案
(1)Sn=3n﹣2n (2)当n=1时,3n>(n﹣1)2n+2n2; 当n=2,3时,3n<(n﹣1)2n+2n2; 当n≥4,n∈N*时,3n>(n﹣1)2n+2n2 |
解析
试题分析:(1)令x=1,则a0=2n,令x=2, 则,∴Sn=3n﹣2n; (3分) (2)要比较Sn与(n﹣2)2n+2n2的大小,即比较:3n与(n﹣1)2n+2n2的大小, 当n=1时,3n>(n﹣1)2n+2n2;当n=2,3时,3n<(n﹣1)2n+2n2; 当n=4,5时,3n>(n﹣1)2n+2n2; (5分) 猜想:当n≥4时n≥4时,3n>(n﹣1)2n+2n2,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知,n=4n=4时结论成立, 假设当n=k(k≥4)n=k,(k≥4)时结论成立,即3n>(n﹣1)2n+2n2, 两边同乘以3 得:3k+1>3[(k﹣1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2] 而(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2=(k﹣3)2k+4(k2﹣k﹣2)+6=(k﹣2)2k+4(k﹣2)(k+1)+6>0∴3k+1>[(k+1)﹣1]2k+1+2(k+1)2 即n=k+1时结论也成立, ∴当n≥4时,3n>(n﹣1)2n+2n2成立. 综上得,当n=1时,3n>(n﹣1)2n+2n2; 当n=2,3时,3n<(n﹣1)2n+2n2;当n≥4,n∈N*时,3n>(n﹣1)2n+2n2﹣﹣(10分) 点评:本题是中档题,考查与n有关的命题,通过赋值法解答固定项,前n项和,以及数学归纳法的应用,考查逻辑推理能力,计算能力,常考题型 |
举一反三
甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路程以速度n行走,如果m ¹ n,问:甲乙两人谁先到达指定地点? |
已知正数的最小值为 |
设函数 (1)当时,求不等式的解集; (2)若对恒成立,求的取值范围. |
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