为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂

为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂

题型:不详难度:来源:
为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与ab的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,问当ab各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(AB孔的面积忽略不计)?

答案
a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解析
解法一:设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y,则由条件y=(k>0为比例系数)其中ab满足2a+4b+2ab="60      " ①
要求y的最小值,只须求ab的最大值.
由①(a+2)(b+1)=32(a>0,b>0)且ab=30–(a+2b)
应用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥
ab≤18,当且仅当a=2b时等号成立
a=2b代入①得a=6,b=3.
故当且仅当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.
解法二:由2a+4b+2ab=60,得,
(0<a<30)则要求y的最小值只须求u的最大值.
,令u′=0得a=6
且当0<a<6时,u′>0,当6<u<30时u′<0,
a=6时取最大值,此时b=3.
从而当且仅当a=6,b=3时,y=取最小值.
举一反三
均为正实数,且,则的最小值为____________________.
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,且满足,求的最大值。
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若不等式对任意的恒成立,则正实数的最小值为
A.1B.4C.9D.14

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若点P(x,y)在直线x+3y=3上移动,则函数f(x,y)=的最小值等于(  )
A.B.C.D.

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已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足abc=
(1)是否存在边长均为整数的△ABC?若存在,求出三边长;若不存在,说明理由。
(2)若a>1,b>1,c>1,求出△ABC周长的最小值。
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